SESSION 2003

EPREUVE SPECIFIQUE – FILIERE MP
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MATHEMATIQUES 1
Durée : 4 heures

Les calculatrices sont interdites. ***
NB : Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.

UTILISATION DES POLYNOMES DE TCHEBYCHEV EN ANALYSE
Notations : On note E l’espace vectoriel des applications continues de [-1,1] dans ! . On désigne par E n l’espace vectoriel des fonctions polynomiales de [-1,1] dans ! de degré inférieur ou égal à n où n est un entier naturel. On pourra confondre les expressions : polynôme et fonction polynomiale. Si f est un élément de E, on pose f ∞ = sup f(x) . x ∈[−1 ,1 ]

Les parties II., III. sont indépendantes et utilisent les résultats de la partie I. I. Polynômes de Tchebychev Dans toute cette partie, n désigne un entier naturel. 1. Existence et unicité a) Déterminer un polynôme T à coefficients réels de degré n vérifiant la propriété (*): (*) : ∀θ ∈ ! , T (cosθ ) = cos ( nθ ) . (on pourra remarquer que cos(nθ ) est la partie réelle de (cosθ + i sin θ ) n ). b) Montrer qu’un polynôme vérifiant (*) est unique. On l’appelle le polynôme de Tchebychev d’indice n, on le note T n .

On définit alors une fonction polynomiale sur [-1,1] par : ∀x ∈ [−1, 1], Tn(x) = cos(n arcos x).
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2.

a) Montrer que ∀x ∈ [−1, 1], Tn + 2 ( x) = 2 xTn +1 ( x) − Tn ( x) (on pourra calculer Tn + 2 ( x ) + Tn ( x ) ). b) Calculer T0 , T1 , T2 , T3 . c) Donner le coefficient du terme de plus haut degré de T n .

3.

Racines et extrema
a) Montrer que ∀x ∈ [-1,1], Tn(x) = 2n −1 ∏ (x − cosθ k ) où θ k = k =0 n −1

(2k + 1)π . 2n

b) On pose pour k dans {0, 1,…,n}, ck = cos(

kπ ). n

Calculer Tn ∞ puis montrer que : ∀k