Scalaire

calculer cos 5  on fait : – load(ntrig) – cos(%pi/5) et on obtient 51 4 Les vecteurs On note v et w deux vecteurs. – u:[a,b,c] : Définit les coordonnées du vecteur u. – u+v : Renvoie les coordonnées de u + v – u . v : Renvoie le produit scalaire de u et de v ( le point est précédé et suivi d'un espace ) Le package load(vect) permet de calculer le produit vectoriel de deux vecteurs. – express(u~v) : Renvoie le produit vectoriel de u et v. Gestion des listes – first[a,b,c,d] : Renvoie

cos t b cos t) dt = = 0 πab Int´grales de surfaces e Soit Σ une surface r´guli`re param´tr´e de l’espace R3 de param´trisation : e e e e e σ : D ⊂ R2 (u, v) −→ R3 −→ x(u, v), y(u, v), z(u, v) Soit φ(x, y, z) un champ scalaire de l’espace. 6.2.1 D´finition : Int´grale de surface e e On appelle Int´grale de φ sur la surface Σ, l’int´grale : e e φ dσ Σ = D φ(σ(u, v))||N || dudv o` N est le vecteur normal associ´ ` la param´trisation. u ea e

Chapitre 3 Les suites 28 Chapitre 4 Statistiques 37 Chapitre 5 Probabilités 44 Chapitre 6 Modélisation et échantillonnage 56 Chapitre 7 Trigonométrie 62 Chapitre 8 Géométrie plane 70 Chapitre 9 Produit scalaire et applications 87 Couverture et maquette intérieure : Nicolas Piroux Composition et schémas : APS-Chromostyle © Hachette livre, 2011 3 Repères 1re, Livre du professeur 1 Les fonctions de référence Programme officiel Contenus

coefficient de la jème ligne de la matrice de production brute (c’est-à-dire la production de la branche j). Vecteur unitaire : Un vecteur unitaire est un vecteur dont la norme est égale à 1, on le note S : S = 1⋮1 Produit Scalaire : On appelle produit scalaire de deux vecteurs x ϵ Rn et y ϵ Rn la quantité de la forme : x ,y= k=1n xi . yj Théorème de Gershgorin-Hadamard : Soit A une matrice carrée d’ordre n. Si A admet des valeurs propres réelles, alors pour toute valeur propre réelle

variables . . . . . . . . 45 e e ` Exemples de fonctions ` plusieurs variables en ´conomie . . . . . . . . . . . . 45 a e L’espace R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Vecteur normal et ´quation d’un plan dans l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 e Repr´sentation graphique des fonctions de deux variables

Soient A, B, C, M et N cinq points distincts du plan, v´erifiant AM 2 − AN 2 = BM 2 − BN 2 = CM 2 − CN 2 . Montrer que A, B et C sont align´es. Solution. Il existe de nombreuses mani`eres de r´esoudre ce probl`eme. Pour ceux qui connaissent le produit scalaire, la m´ethode classique consiste `a ´ecrire −−→ −−→ −−→ −−→ − → −−→ AM 2 − AN 2 = (AM + AN )(AM − AN ) = 2AI · N M − → −−→ −→ −−→ en appelant I le milieu de [N M ]. On a donc AI · N M = BI · N M d’o` u l’on d´eduit − → −→ non pas que AI = BI (« diviser

· · · , xi − x, · · · , xn − x)′ ¯ ¯ ¯ ˜ y = (y1 − y , · · · , yi − y , · · · , yn − y )′ . ¯ ¯ ¯ ˜ ˜ Par d´finition, le cosinus de l’angle entre, x et y vaut e cos(˜ , y) = x ˜ ˜ ˜ < x, y > , ||˜ || × ||˜ || x y 3 ˜ ˜ o` < x, y > est le produit scalaire entre les vecteurs x et y u ˜ ˜ ˜ ˜ < x, y >= ˜ ˜ et ||˜ || (rep. ||˜ ||) est la norme de x (resp. y) : x y ||˜ || = x n ∑ i=1 n ∑ i=1 (xi − x)(yi − y ), ¯ ¯ (xi − x)2 et ||˜ || = ¯ y n ∑ i=1 (yi − y )2 . ¯ ˜ ˜ Le coefficient de corr´lation est

Définition : Deux vecteurs non nuls u et v dont les directions sont orthogonales sont dits orthogonaux. On ! " ! " note u ⊥ v . Remarque : par convention le vecteur nul est orthogonal à tout autre vecteur. Attention on n’a pas défini le produit scalaire de deux vecteurs dans l’espace. Exemple : !!!" !!!! " AD ⊥ NM 2. Interprétation vectorielle des droites et des plans de l’espace. 2.1. Les droites. Définition : Soit (d) une droite. On appelle vecteurs directeurs de (d) tout vecteurs, non nuls

PRELIMINAIRES → L’espace affine euclidien orienté E, de dimension 3, associé à l’espace vectoriel E , est rapporté au repère orthonormé → → direct → ( O, i , j , k ), → → → → d’axes Ox, → Oy, → Oz. Le produit scalaire de deux vecteurs u et v est noté ( u v ) et leur produit vectoriel u ∧ v . On considère dans E l’hélice circulaire (H) d’équations paramétriques : x = R cos t y = R sin t z = ht L’objet de ce problème est d’étudier les projections

prenant une subdivision de pas h est majorée par : . Programmation Matlab : III) Méthode de Gauss-Legendre : Principe : On utilise aussi en analyse numérique une méthode basée sur l'orthogonalité des polynômes de Legendre. pour le produit scalaire Elle est appelée méthode de Gauss-Legendre, et permet de calculer avec une grande précision les intégrales de fonctions suffisamment régulières sur un segment Il suffit de réaliser une application affine de sur , et de remarquer que où