Relation de Chasles

translation qui transforme A en B associe C au point D. On note AB = CD . Définition Deux vecteurs AB et CD sont égaux si, et seulement si, le quadrilatère ABDC est un parallélogramme, éventuellement applati. On note AB = CD . r u v a) Relation de Chasles b) Règle du parallélogramme r u r v r r u+v r r u + v = AB + BC = AC r u r v r r u+v 2. Vecteur Définition r Le vecteur AB , que l'on peut noter aussi u , représenté par les points A et B est l'ensemble des couples de points

d’un angle au centre qui intercepte sur le cercle C un arc de longueur 1. Remarque. Il y a une relation de proportionnalité entre les degrés et les radians. En effet, nous savons que la relation suivante est vérifiée 360 degrés équivaut à 2πrad (la longueur du cercle trigonométrique) C’est pourquoi nous avons le tableau suivant : Degrés 360 d Radian 2π r Ce tableau de proportionnalité nous fournit la relation suivante 180 × r = d × 2π qui permet de convertir des degrés en radian et vice-versa. Les valeurs

suivante : la valeur absolue de la mesure principale de l'angle orienté  ,  est la mesure (en radian dans [0, ] ) de l'angle géométrique  . OA OB AOB Exemple : Comme –     , est la mesure principale de  ,  . OA OJ ' 6 6 III-Relation de Chasles u v w Théorème 1 : Quels que soient les vecteurs non nuls  ,  et  : u w w v u v (  ,  ) + (  ,  ) = (  ,  ) [ 2 ] Démonstration : Soit A, B et C les points du cercle trigonométriques tels u v w que  ,  et  soient colinéaires

est le vecteur que définit la translation obtenue par la composée des translations de vecteur �⃗⃗� et de vecteur �⃗⃗� . Méthode du parallélogramme : Méthode de Chasles : (Idéale si les vecteurs ont la même origine) (On place les vecteurs bout à bout.) Remarques : - La méthode de Chasles illustre la relation de Chasles : pour tous points A, B et C, on a 𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑩𝑪⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑨𝑪⃗⃗⃗⃗ ⃗ . Autrement dit, effectuer la translation

AC et −→ CF = 1 5 −→ AB Lycée Jean Dautet- seconde Devoir-fonctions affines Page 62 Reproduire le quadrillage puis construire les points G et H tels que : −→ AG = 2 5 −→ AB −2 −→ AC et −−→ C H = 2 5 −→ AB + 3 5 −→ AC Ex. 18 En utilisant la relation de Chasles ( en intercalant A) , exprimer en fonction de −→ AB , −→ AC et −−→ AD 1 −−→ AD + −−→ BD = 2 −−→ CD +2 −−→ BD −2 −→ CB = 3 −→ B A−2 −−→ CD +4 −−→ AD = 4 −0,5 −−→ BD +5 −−→ C A − −−→ AD 5 − −−→ BD −2 −−→ CD = 6 2 −−→ BD − −−→ AD +3 −−→ D A +2

" AB associé. Objectifs : Définition de la translation qui transforme un point A du plan en un point B. Vecteur !!!" !!!" ! """! """! Egalité de 2 vecteurs. u = AB = CD . Savoir que AB = CD équivaut à ABDC est un parallélogramme. Relation de Chasles. Construire géométriquement la somme de 2 vecteurs. Coordonnées d’un vecteur, coordonnées de la somme. 1) TRANSLATION Définition : Soient A et B deux points distincts du plan. A tout point C du plan, on associe, par la translation qui transforme

(Oy) alors 1 u.a. = 6 cm².) 2) LES METHODES 1 1 ) dx et ⌡ 4 ( x – )dx ⌠1 x² x …………………………………………………………………… …………………………………………………………………….. Calculer ⌡ 2 (3x² + 2x – ⌠ 1 ⌠aa ⌡ ⌠ab ⌡ ⌠ba f(x) dx = – ⌠ab f(x) dx ⌡ ⌡ c f(x) dx = c f(x) dx (Relation de Chasles) f(x) dx + ⌠ ⌠a ⌡b ⌡ b ( α f(x) + β g(x) ) dx = α b f(x) dx + β b g(x) dx ⌠a ⌠a ⌠a ⌡ ⌡ ⌡ b f(x) dx ≥ 0 si f ≥ 0 alors ⌠ ⌡a f(x) dx = 0 si f(x) ≤ g(x) pour tout x de [a ; b] alors si m ≤ f (x) ≤ M alors Calculer la dérivée de F(x) = x ln

tout α ∈ R+ , αf est int´grable et e e e e αf = α I I f. D´monstration. e f −→ f , donc Jn n→+∞ I Jn αf = α Jn f −→ α n→+∞ I n→+∞ f. αf = α Jn I Ainsi, αf est int´grable sur I et e I αf = lim f. Propri´t´. Relation de Chasles. Soit a ∈ I. f est int´grable sur I si et seulement e e e si f est int´grable sur I∩] − ∞, a] et sur I ∩ [a, +∞[. Dans ce cas, e f= I I∩]−∞,a] f+ I∩[a,+∞[ f. c Eric Merle 5 MP F´nelon e Int´gration et d´rivation e e 2

| | |On peut l’utiliser dans les cas où f s’exprime de façons différentes sur [a ; c] et [c ; b], | |… utiliser la relation |on cherche alors une primitive sur chaque intervalle. | |de Chasles | | |… calculer la valeur moyenne de f |La valeur moyenne m de f sur

d’un vecteur #» #» 1) Construire un repère (O; I, J ). On notera OI = #» ı et OJ = #» . 2) Placer dans ce repère les points M, P, R tels que : # » # » ı a) OM = 2 #» # »  b) OP = 3 #» ı + 3 #»  c) OR = 2 #» 3) Quelles semblent être les relations entre les égalités vectorielles et les coordonnées des points ? 4) Placer dans le repère le point N de coordonnées (−5; 1). # » 5) Donner une égalité vectorielle liant ON, #» ı et #» . 6) On considère un point quelconque E de coordonnées ( x E