Int´gration et d´rivation e e

Deuxi`me partie e

Int´gration sur un intervalle e quelconque
1 Pr´liminaires e
En premi`re ann´e, vous avez ´tudi´ I f , lorsque f est une application continue par e e e e morceaux a valeurs dans C, et lorsque I est un segment, c’est-`-dire un intervalle de la ` a 2 forme [a, b], o` (a, b) ∈ R avec a < b. u Dans ce chapitre, on prolonge la d´finition de I f , lorsque I est un intervalle quele conque. Par exemple, on pourra avoir I = [0, +∞[, I =]0, 1] ou I = R. Notation. Dans tout ce chapitre, I d´signe un intervalle inclus dans R de cardinal infini, e et f est une application continue par morceaux de I dans C. Pour le moment, lorsque I = [a, b], o` (a, b) ∈ R avec a < b, u a 2

b

f et
[a,b]

f

d´signent l’int´grale de Riemann de f sur [a, b], telle qu’elle a ´t´ d´finie en premi`re e e ee e e ann´e. e On note C(I) l’ensemble des segments inclus dans I. Lemme. Il existe une suite croissante (Jn )n∈N de segments inclus dans I dont la r´union est ´gale a I. Une telle suite est dˆ adapt´e a I. e e ` ıte e ` Informellement, Jn −→ I. n→+∞ D´monstration. e Premier cas. On suppose que I est born´. Notons a et b les bornes de I. e Si I = [a, b], la suite constante ([a, b])n∈N convient, b−a ])n∈N convient, si I = [a, b[, ([a, b − n+2 b−a si I =]a, b], ([a + , b])n∈N convient n+2 b−a b−a et si I =]a, b[, ([a + ,b − ])n∈N convient. n+2 n+2 1

Int´gration et d´rivation e e

2 Int´grale g´n´ralis´e d’une fonction a valeurs positives e e e e `

Deuxi`me cas. On suppose que I est minor´ mais non major´. Notons a sa borne e e e inf´rieure. e Si I = [a, +∞[, ([a, a + n + 1])n∈N convient, 1 , a + n + 1]) convient. Si I =]a, +∞[, ([a + n+1 Troisi`me cas. Le cas o` I est major´ mais non minor´ est laiss´ en exercice. e u e e e Dernier cas. Si I = R, la suite ([−n, n])n∈N convient.

2

Int´grale g´n´ralis´e d’une fonction ` valeurs poe e e e a sitives

On suppose dans ce paragraphe que f (I) ⊂ R+ .

2.1
Alors

Trois