Relation de Chasles

sont colinéaires de même sens si , et seulement si, ( ; ) = 0 • et sont colinéaires de sens contraire si , et seulement si, ( ; ) = 2) Relation de Chasles • Pour tous vecteurs non nuls ( ; )+( ; )=( ; , et )+ : ( ) • Soit O, M, N et P quatre points du plan tels que O ≠ M ; O ≠ N et O ≠ P On a la relation suivante : ( ; )+( ; )=( ; )+ 3) Autres propriétés Pour tous vecteurs non nuls • ( ; ) = ( ; ) ( ) •( ; )= ( ;

mathsenligne.com VECTEURS EXERCICES 3B EXERCICE 3B.1 A l’aide de la relation de Chasles, écrire sous forme d’un seul vecteur… si c’est possible : 1.  AD +  DF = 2.  CB +  CA = 3.  DF –  FG = 4.  AB –  AC = 5.  RS +  AR = 6.  EG +  GT = 7.  AL –  LA = 8. –  AD –  DB = EXERCICE 3B.2 Ecrire plus simplement les vecteurs suivants, en utilisant la relation de Chasles :  u =  AB +  BC +  CA  v =  IJ +  KI + 

été reçu par Poncelet et Chasles ?.....................................................................................................................................11 1.La généralité selon Poncelet...........................................................................................11 2.La généralité selon Chasles................................................................... .........................13 3.La trace de Carnot dans les œuvres de Poncelet et de Chasles......................

cas où est un segment de En appliquant le théorème de Thalès dans les triangles et , on a : Par conséquent, le point cherché correspond à l’intersection de avec le miroir plan. 2. Loi de la réflexion Par raison de symétrie, nous retrouvons la relation (figure Avec . D’où, L’œil d’un observateur, en , regarde une source fixe ponctuelle , à travers un miroir plan (figure 4). En appliquant le théorème de Thalès dans les triangles et , on a : Avec . D’où, Figure 4 Donc : 4

Caractérisation vectorielle de l'orthocentre :  OB +  OH =  OA +  OC 1)  OB +  OC =  OA ' +  A'B +  OA ' +  A ' C (d'après la relation de Chasles)   Or, A' est le milieu de [BC], d'où : A ' B + A ' C =  0 Donc :  OB +  OC = 2 OA ' 2)  OB +  OH =  OA +  OC =  OA + 2 OA '   Or, OH = OA +  AH (relation de Chasles)   D'où : OA + AH =  OA + 2 OA ' Donc :  AH = 2 OA ' 3) A' milieu de [BC] O centre du cercle circonscrit au triangle ABC O

que et Proposition : Soient 1) 2) 3) 4) Relation de Chasles : Pour tout , , 3 vecteurs non nuls. On a : dém 1 : cf. cours Lycée. B Théorème de l'angle au centre Théorème : Soit un cercle de centre dém 2 : On a et 2 points de et d'où avec la relation de Chasles : (1) (2) isocèle en isocèle en (1) devient (2) devient En utilisant d'où : d'où : (3) (4) , l'addition (3)+(4) donne : CQFD ! Enn, avec la relation de Chasles : C Angles Orientés de Droites Soit et deux

nombres. 1- Relation de Chasles B Quels que soient les points A, B et C :   BC AC= AB  AC AB BC Le vecteur  est la somme des vecteurs  et  . C A Remarque On peut interpréter la relation de Chasles de la façon suivante : le vecteur  représente un AB  représente un déplacement de B vers C ; la somme de déplacement de A vers B et le vecteur BC ces deux déplacements est un déplacement de A vers C qu'on représente par le vecteur  . AC Attention La relation de Chasles    (qui concerne

Figure de l'énoncé Janvier 2009 A) Caractérisation vectorielle de l'orthocentre :  =  +  +  OB OH OA OC 1)  +  =  +  +  +  (d'après la relation de Chasles) OB OC OA ' A'B OA ' A'C  +  =  Or, A' est le milieu de [BC], d'où : A ' B 0 A'C Donc :  +  = 2 OB OC OA ' 2)  =  +  +  OB OH OA OC =  + 2 OA OA '  =  +  (relation de Chasles) Or, OH OA AH  +  =  + 2 D'où : OA AH OA OA ' Donc :  = 2 AH OA ' 3) A' milieu de [BC] O centre du cercle circonscrit au triangle ABC O : point

Vecteurs : Résumé de cours et méthodes 1 Egalité de deux vecteurs − → − → Dire que les vecteurs AB et CD sont égaux équivaut à dire que ABDC est un parallélogramme. A C B D 2 Relation de Chasles − − → → − → Pour tous points A, B et C : AB + BC = AC. Applications : • Simplifier des expressions vectorielles : − − → → − → − − → → Quand on remplace AB + BC par AC, on simplifie l’expression AB + BC. Exemple de simplification : → − − → → − → − → − → − → − → − → − − − → → → − AC + 2CB − AB =

Vecteurs : Résumé de cours et méthodes 1 Egalité de deux vecteurs − → −→ Dire que les vecteurs AB et CD sont égaux équivaut à dire que ABDC est un parallélogramme. B A D C 2 Relation de Chasles − → − → − → Pour tous points A, B et C : AB + BC = AC. Applications : • Simplifier des expressions vectorielles : − → − → − → − → − → Quand on remplace AB + BC par AC, on simplifie l’expression AB + BC. Exemple de simplification : → − → − → − → − → − → − → − → − → − → − → − → − AC + 2CB − AB = AC + CB