Relation de Chasles

11 Vecteurs 11.1 Translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.1 Définition – Égalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.2 Somme de deux vecteurs – Relation de C HASLES . 11.2.3 Vecteur nul – Vecteurs opposés . . . . . . . . . . . 11.3 Coordonnées et vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.4 Colinéarité de deux vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

environnement. Dans cet esprit, ils ont souhaité donner à leur travail une dimension pédagogique qui facilite l’organisation des apprentissages. Ainsi : • les savoirs technologiques, clés d’entrée des différents chapitres, sont systématiquement mis en relation avec des compétences professionnelles qui demeurent les véritables objectifs de formation ; • les notions abordées sont toujours situées dans leur contexte technique ; des exercices corrigés et de nombreuses indications permettent au lecteur de vérifier

rationnels, not´ Q, l’ensemble des nombres r´els, not´ R et l’ensemble des e e e nombres complexes, not´ C. e Ensemble vide : il s’agit de l’ensemble ne contenant aucun ´l´ment ; on le note ∅ ; on ee peut aussi le d´finir comme ∅ := {x | x = x} e Relations entre ´l´ments et ensembles : ee Un ensemble E est donc une collection d’objets qu’on appelle ´l´ments ; pour chaque ee ´l´ment x on ´crit x ∈ E (lire “x appartient ` E”). Si l’´l´ment x n’est pas dans l’ensemble ee e a ee E on ´crira x ∈ E (lire

− x 2 . f est décroissante sur [0 ; 1] car sa dérivée est négative. b. Cette intégrale donne l’aire du quart de disque car la courbe de f est le quart de cercle, le repère est orhonormé et f est positive sur [0 ; 1]. 3 G a. Par la relation de Chasles : 1 ∫0 1 1 − x 2 dx = ∫ 0n n n n 1 − x 2 dx + ... + ∫n−1 1 − x 2 dx = n n−1 k+1 ∫k n n k+1 ⎛k⎞ 1 − x 2 dx ⩽ ∫ k n f ⎜ ⎟ dx . ⎝ n⎠ n n k+1 k + 1⎞ n Donc f ⎛ dx ⩽ ∫ k n ⎜ ⎟ ⎝ n ⎠ ∫k n

de fractions simples. Le deuxi`eme chapitre porte sur la trigonom´etrie. On y red´efinit les nombres et fonctions trigonom´etriques en mentionnant leurs propri´et´es et on y donne aussi une liste des formules principales. Enfin, on rappelle les relations dans les triangles ainsi que la r´esolution des ´equations et in´equations trigonom´etriques. Le troisi`eme chapitre est consacr´e au calcul vectoriel et `a la g´eom´etrie analytique plane relative aux droites et aux coniques. Le quatri`eme chapitre

k). (3.24) Interpr´ter ce r´sultat en consid´rant une suite d’´preuves r´p´t´es. e e e e e ee 2) Trouver toutes les lois qui v´rifient la propri´t´ (3.24). e ee Indication : On notera G(n) = P (X > n) et on montrera que (3.24) se traduit par une relation simple entre G(n + k), G(n) et G(k). Ex 3.2. 1) Proposer des formules permettant de simplifier les expressions : F (x, y) = 0≤2k≤n 2k Cn x2k y n−2k , G(x, y) = 0 n). Indication : on pourra commencer par chercher une formule explicite pour la

Interpr´ter ce r´sultat en consid´rant une suite d’´preuves r´p´t´es. e e e e e ee 2) Trouver toutes les lois qui v´rifient la propri´t´ (3.24). e ee Indication : On notera G(n) = P (X > n) et on montrera que (3.24) se traduit par une relation simple entre G(n + k), G(n) et G(k). Ex 3.2. 1) Proposer des formules permettant de simplifier les expressions : 2k Cn x2k y n−2k , F (x, y) = 0≤2k≤n 2k+1 Cn x2k+1 y n−2k−1 . G(x, y) = 0 n). Indication : on pourra commencer par chercher

Interpr´ter ce r´sultat en consid´rant une suite d’´preuves r´p´t´es. e e e e e ee 2) Trouver toutes les lois qui v´rifient la propri´t´ (3.24). e ee Indication : On notera G(n) = P (X > n) et on montrera que (3.24) se traduit par une relation simple entre G(n + k), G(n) et G(k). Ex 3.2. 1) Proposer des formules permettant de simplifier les expressions : 2k Cn x2k y n−2k , F (x, y) = 0≤2k≤n 2k+1 Cn x2k+1 y n−2k−1 . G(x, y) = 0 n). Indication : on pourra commencer par chercher

Interpr´ter ce r´sultat en consid´rant une suite d’´preuves r´p´t´es. e e e e e ee 2) Trouver toutes les lois qui v´rifient la propri´t´ (3.24). e ee Indication : On notera G(n) = P (X > n) et on montrera que (3.24) se traduit par une relation simple entre G(n + k), G(n) et G(k). Ex 3.2. 1) Proposer des formules permettant de simplifier les expressions : 2k Cn x2k y n−2k , F (x, y) = 0≤2k≤n 2k+1 Cn x2k+1 y n−2k−1 . G(x, y) = 0 n). Indication : on pourra commencer par chercher

aussi lim S2n = ln(2), d’o` u n→+∞ 2n + 1 lim Sn = ln(2). n→+∞ 3.1.2 Propri´t´s de l’int´grale d´finie e e e e Soient f et g des fonctions (born´es) int´grables sur un intervalle ferm´ born´ I = [a, b]. On e e e e a • Relation de Chasles : Pour tout c ∈]a, b[ c b a b f (t)dt. f (t)dt + f (t)dt = a c • Lin´arit´ : Si λ, µ ∈ R (ou C), on a e e b b (λf (t) + µg(t))dt = λ a b f (t)dt + µ a b • Positivit´ : Si f ≥ 0 sur I, on a e