Relation de Chasles

suite. Définition. Une suite réelle (un ) converge vers un réel ℓ si tout intervalle ouvert contenant ℓ contient tous les un à partir d’un certain rang. Théorème. Soient f une fonction continue (voir le chapitre 3) et (un ) une suite définie par la relation de récurrence un+1 = f (un ). Si la suite (un ) converge vers un réel ℓ, alors ℓ = f (ℓ) i.e. ℓ est un point fixe de f . Preuve. Si lim un = ℓ, alors par continuité de f , lim f (un ) = f (ℓ). De plus lim un+1 = ℓ n→+∞ n→+∞ n→+∞ aussi. ¤ Remarque

des parties à p éléments d’un ensemble à n éléments est : Cn = k 2. Fonctions et applications 2.1. Applications Définition : Une fonction f de E vers – ou dans – F est une relation telle que : ∀ x ∈ E, il existe au plus un seul y ∈ F, tel que : y = f ( x). Une application f de E vers – ou dans – F est une relation telle que : ∀ x ∈ E, il existe un et un seul y ∈ F, tel que : y = f ( x). Définition : Soit f une application de E vers F, et A une partie de E, alors : f A : A → F, définie par : ∀

pour les deux autres équivalences. Exemple Soit f une fonction trinôme du second degré. Montrer l’équivalence des trois propositions qui suivent : 1. le discriminant de f est nul ; 2. il existe deux réels α et r tels que, pour tout réel x, on a la relation f (x) = α(x − r)2 . 3. les deux équations f (x) = 0 et f (x) = 0 admettent une solution commune. Q⇒R R⇒P 4.2.9 Quantificateurs Introduction Nous avons vu, précédemment, les propositions (contraires l’une de l’autre) suivantes : – « tous les nombres

+ 5 (2x3 2x) 3x2 2x + 5 (3x2 6) 5x + 11 x2 2 2x + 3 3. Polynômes 13 Le reste de notre division est un polynôme de degré 1 donc de degré strictement inférieur au degré du diviseur ce qui signi…e que notre division est achevée et on a la relation 2x3 + x2 5x + 5 = (2x + 3)(x2 2) 5x + 11 L’ intérêt de la division euclidienne apparait lors de la factorisation des polynômes. Si vous disposez d’ une racine évidente a d’ polynôme P; le théorème 1 montre que (x a) divise P donc il existe un

Casio Graph 35+, on trouve u20 5 – 51,32. Cela est dû aux erreurs d’arrondis, multipliées de proche en proche par 8… 144 a) p2 = 1, p3 = 3, p4 = 6 et p5 = 10. b) On relie ce nouveau point aux n précédents donc n nouveaux segments. c) pn+1 = pn + n, relation vraie pour tout entier naturel car p0 = 0, p1 = 0. Ainsi : pn = pn–1 + n – 1 pn–1 = pn–2 + n – 2 pn–2 = pn–3 + n – 3 Ӈ p2 = p1 + 1 ; pn = p1 + (1 + 2 +… + n) = La lecture de ce tableau permet de conclure que l’option A est la plus intéressante pendant

droite d’´quation x = π/2. e e a e Etude sur [0, π/2] (conjecture graphique) : Sur le cercle trigonom´trique, on peut observer e que la fonction sinus est strictement croissante et positive sur [0, π/2] ; de sin(0) = 0 ` a sin(π/2) = 1. Remarque. La relation cos(x) = sin(π/2 − x), valable pour tout r´el x, prouve aussi que e C est l’image de S par la reflexion par rapport ` la droite d’´quation x = π . a e 4 11 2.2. Les fonctions trigonom´triques e Compl´ment e Trigonom´trie e Exercices. Le

vantera la pureté dans ses instruments. « Origines du régime féodal », dit-on. Où les chercher ? D’aucuns ont répondu « à Rome ». D’autres « en Germanie ». Les raisons de ces mirages sont évidentes. Ici ou là certains usages existaient en effet — relations de clientèle, compagnonnage guerrier, rôle de la tenure comme salaire des services — que les générations postérieures, contemporaines, en Europe, des âges dits féodaux, devaient continuer. Non, d’ailleurs, sans les modifier beaucoup. Des deux parts

continues sur un intervalle I de R, a, b et c des points de I, et µ des r´eels. 1) Lin´ earit´ e de l’int´ egrale : Z b⇣ Z ⌘ f (x) + µg(x) dx = a b f (x)dx + µ a 2) Positivit´ e de l’int´ egrale : Si f est positive sur [a; b], alors 3) Relation de Chasles : Z b Z c Z f (x)dx = f (x)dx + 4) Ra a a f (x)dx = 0 et Rb a a f (x)dx = Ra b Z b a Z b g(x)dx. a 32 Changement de variable Th´ eo 32.1. Soit f une fonction continue sur un intervalle [a, b] et u une fonction de classe C 1 sur

chapitre 4 et sur les distributions étudiées au chapitre 5 trouvent un prolongement au chapitre 6 où elles sont appliquées à la description du principe de causalité en physique et à la modélisation des filtres linéaires : relations de Kramers- Kronig, filtres à phase minimale, relations de Bayard-Bode, théorème de Paley-Wiener. Les fonctions de Bessel, chapitre 7, et les polynômes orthogonaux, chapitre 8, sont étudiés en vue de leur application à la résolution d’équations différentielles et d’équations

réels Premières propriétés Corps ordonné On dit que l'ensemble R des nombres réels est : – un corps pour dire qu'il est muni de deux opérations + et ×, avec toutes les propriétés dont vous avez l'habitude ; – un corps ordonné pour dire que la relation d'ordre est compatible avec + et ×, c'est-à-dire : a b ⇒ a+c b+c ; ∀a ∈ R ∀b ∈ R ∀c ∈ R ∀a ∈ R ∀b ∈ R ∀c 0 a b ⇒ ac bc . • Règles de calcul (x ∈ R , y ∈ R , n ∈ N) n (x + y)n = k=0 n k x k y n−k où n k = n! k!(n