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22310 mots
90 pages
UNIVERSITE PIERRE ET MARIE CURIE -Paris 6Notes de cours de LM250
“Suites, s´ries et int´grales” e e
Dominique Le Brigand
Premier semestre 2006-2007
Table des mati`res e 1 Rappels - Compl´ments e 1.1 Rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Suites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Fonctions de variables r´elles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2 S´ries num´riques e e
2.1 Premi`res propri´t´s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e ee
2.1.1 D´finitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.1.2 Premier exemple : la s´rie harmonique . . . . . . . . . e 2.1.3 Condition n´cessaire de convergence . . . . . . . . . . . e 2.1.4 Exemple fondamental : la s´rie g´om´trique . . . . . . e e e
2.1.5 Autres exemples de s´ries . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.1.6 Op´rations sur les s´ries . . . . . . . . . . . . . . . . . e e
2.2 S´ries ` termes positifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e a
2.2.1 D´finition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 2.2.2 Condition n´cessaire et suffisante de convergence . . . . e 2.2.3 Crit`res de convergence pour les s´ries ` termes positifs e e a 2.2.4 Crit`re de Cauchy pour les s´ries ` termes positifs . . . e e a 2.2.5 Crit`re de d’Alembert pour les s´ries ` termes positifs . e e a 2.2.6 Crit`re int´gral pour les s´ries ` termes positifs . . . . e e e a
2.2.7 Applications : s´rie de Riemann et s´rie de Bertrand . e e
2.3 S´ries num´riques ` termes r´els quelconques ou complexes . . e e a e
2.3.1 Convergence absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 S´ries altern´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e
2.3.3 Th´or`me d’Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e
2.4 Produit de 2 s´ries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 3
Int´gration - Int´grale g´n´ralis´e e e e e e 3.1