Relation de Chasles

est de montrer que A12 = I2 . On note s l’ensemble des valeurs propres (réelles ou complexes) de A. 1. Montrer que l ∈ s si et seulement si l2 − (a + d)l + (ad − bc) = 0. En déduire que s n’est pas vide. On admettra que la matrice A vérifie la relation : A2 − (a + d)A + (ad − bc)I2 = 0 ( ) . 2. Montrer que s vérifie l’une, et l’une seulement, des deux propositions suivantes : a) s ⊂ {−1, 1} 6. (Oral ESCP) On considère la matrice A = b) il existe un entier p tel que 1 p < n/2 et s = {e−2ipp/n

strictement croissante sur [0 ; + ∞[ Ê ˆ 4 ÁË f ¢( x ) = ( x + 1)2  0˜¯ , donc la suite u est strictement croissante. 2. a) On trouve N  4 000. © Nathan. Hyperbole Term S 1 1 n -1 1 n  Ún -1ln x d x  ln Pour k = n - 1 : ln n n n n n D’après la relation de Chasles, on obtient : 1 1Ê 1 2 n - 1ˆ ln + ln + ... + ln  1 ln x d x n ÁË n n n ˜¯ Ún 1Ê 2 3 nˆ  Áln + ln + ... + ln ˜ nË n n n¯ Ce qui est équivalent à : 1 1Ê 1 2 n -1 nˆ ln + ln + ... + ln + ln ˜  Ú 1 ln x d x Á nË n n n n¯ n 1Ê 1 2 3 nˆ 1 1 

présent acte de naissance les rectifications que ledit jugement ordonne des noms du père de l’enfant et de cet enfant. Nous, Maire de la Ville de Villers-Cotterêts, faisant les fonctions d’officier de l’État Civil, soussigné, avons inscrit cette relation dudit jugement qui porte que les noms du père seront écrits : Thomas Alexandre Dumas Davy de la Pailleterie, au lieu de Alexandre Davy-Dumas de la Pailleterie, et ceux dudit enfant : Alexandre Dumas Davy de la Pailleterie, au lieu de : Alexandre

tonneaux et l'entraîner dans les abîmes de l'Océan. On reproduisit même les procès−verbaux des temps anciens les opinions d'Aristote et de Pline, qui admettaient l'existence de ces monstres, puis les récits norvégiens de l'évêque Pontoppidan, les relations de Paul Heggede, et enfin les rapports de M. Harrington, dont la bonne foi ne peut être soupçonnée, quand il affirme avoir vu, étant à bord du Castillan, en 1857, cet énorme serpent qui n'avait jamais fréquenté jusqu'alors que les mers de l'ancien

h > 0). La relation (4.14) e donne : 1 −h 1 − = hf (a + θh) = , a+h a (a + θh)2 et donc (a + θh)2 = a(a + h), ce qui donne : θ= a(a + h) − a . h a(a + y), on a aussi Ceci prouve bien l’unicit´ de θ. En posant, pour y > −a, ϕ(y) = e √ a(a+h)−a ϕ(h)−ϕ(0) θh = = et donc : h h h→0,h>0 lim θh = ϕ (0) = 1 . 2 —————————————————————————————– 1 (b) 0 < a < b < ∞ et f (x) = √x pour x ∈ [a, b]. —————————————corrig´—————————————– e Soit θ ∈]0, 1[ v´rifant (4.14). La relation (4.14) donne

−∞ 3 −7 +∞ 41. 1. h semble constante sur \ {− 2} . 2. Il semble que, pour tout x ∈ \ {− 2}, 3 h (x) = . 2 3. La calculatrice renvoie un message d’alerte vous prévenant (elles ne le font 3 pas toutes) que l’on a bien h (x) = , mais 2 que cette relation n’est pas vraie sur (car h (x) n’est pas défini pour x = − 2.) 4. Cela provient du fait que : × 3 2 6 4 12 8 54. a. cos x = 0, 51 ; b. cos x = c. cos x = 0, 91. 55. On sait que donc AH 3 = = cos BAH et AB 5 est un tableau de proportionnalité

1. h semble constante sur ‫. }2 −{ \ ޒ‬ 2. Il semble que, pour tout x ∈‫,}2 −{ \ ޒ‬ 3 h (x) = . 2 3. La calculatrice renvoie un message d’alerte vous prévenant (elles ne le font 3 pas toutes) que l’on a bien h (x) = , mais 2 que cette relation n’est pas vraie sur ‫ޒ‬ (car h (x) n’est pas défini pour x = − 2.) 4. Cela provient du fait que : × 3 2 6 12 4 8 est un tableau de proportionnalité. 3 × (4 x + 8) Donc, pour x ≠ − 2, h (x) = 2 . 4x +8 3 D’où, pour x

espace vectoriel de dimension 3. Définition On appelle hyperplans de E les noyaux des formes linéaires sur E autres que la forme nulle. Autrement dit, un sev H de E est un hyperplan si et seulement si : ∃ ϕ ∈ E ∗ − {0}, H = Ker(ϕ). On dit que la relation ϕ(x) = 0 est une équation de l'hyperplan H. Proposition 1 Soit H un sev de E. Pour que H soit un hyperplan de E, il faut et il suffit qu'il existe une droite vectorielle D de E telle que H et D soient supplémentaires dans E. Preuve 1) Soit H un

voir sauter lorsqu'elles étaient accrochées, de brusquement. Il les achevait d'un choc sec de leur tête contre une pierre, une souche ou l'angle de son sabot. Et il en tuait ainsi dans les bons jours un cent ou deux. Il avait déjà les ruses du chasles tirer à lui seur. les Il marchait sur la jambes de peur du à guetter, sans pointe des pieds, levant haut bruit, s'immobilisant des heures bouger. La proie apparue, était aussi forte que sa prudence : il sa décision coup frappait

cet enseignement traditionnel du latin. Pendant tout le Moyen-Âge, le latin est resté en Europe la langue de l’Église – avec tout le prestige et tous les privilèges qu’un tel statut pouvait lui conférer –, la langue des affaires publiques, des relations internationales, des rapports et publications philosophiques, p. 18 Christian PUREN, Histoire des méthodologies d’enseignement des langues vivantes (1988) littéraires et scientifiques, la seule langue d’enseignement enfin. Langue de communication