Relation de Chasles

exercises. Geoffrey Lloyd gave expert advice on the Greeks; I am grateful for all of it, even if I only paid attention to some. John Cairns, Felix Pirani and Gervase Fletcher read parts of the manuscript and made helpful comments; various friends and relations, most particularly Jack Goody, John Hope, Jessica Hines and Sam and Joe Gold Hodgkin expressed a wish to see the finished product. Finally, I’m deeply grateful to my wife Jean who has supported the project patiently through writing and revision. To

Statistiques et probabilités Pour des questions de présentation du programme, les cadres relatifs à l’enseignement des statistiques et des probabilités sont présentés séparément à la suite l’un de l’autre. Pour autant, ces enseignements sont en relation étroite l’un avec l’autre et doivent faire l’objet d’allers et retours. Objectifs visés par l’enseignement des statistiques et probabilités à l’occasion de résolutions de problèmes dans le cadre de l’analyse de données, rendre les élèves capables

Statistiques et probabilités Pour des questions de présentation du programme, les cadres relatifs à l’enseignement des statistiques et des probabilités sont présentés séparément à la suite l’un de l’autre. Pour autant, ces enseignements sont en relation étroite l’un avec l’autre et doivent faire l’objet d’allers et retours. Objectifs visés par l’enseignement des statistiques et probabilités à l’occasion de résolutions de problèmes dans le cadre de l’analyse de données, rendre les élèves capables

(y compris 0). On suppose qu’il existe une probabilit´e P v´erifiant : ∀n ∈ N∗ , P (nN) = 1 . n et on souhaite r´efuter cette conjecture. 24 Ch. Suquet, Probabilit´es 1.6. Exercices 1) 2) Montrer que n´ecessairement P ({0}) = 0. Prouver la relation −1 1 1− 2 +∞ −1 1 1− 3 = m=0 k1 +k2 =m 1 2k1 3k2 . 3) Soit pi le i-`eme nombre premier (p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5, . . .). On pose pour 1 ≤ k ≤ n : n 1 πk,n = 1− pi i=k et on se propose d’en trouver la limite lorsque n tend vers +∞, k restant

imp´ratif de limiter le nombre n d’´tapes en sorte que e e e e a e An ε reste tr`s inf´rieur ` 1, si ε est la pr´cision relative des calculs. ¿º¾º Ð ÙÐ× Ø Ö Ø × Soit a calculer une suite (un ) d´finie par sa valeur initiale u0 et par la relation de ` e r´currence e un+1 = f (un ), u o` f est une fonction donn´e. On a donc un = f n (u0 ) o` f n = f ◦ f ◦ . . . ◦ f est la u e n-i`me it´r´e de f . On consid`re par exemple la suite (un ) telle que e ee e u0 = 2, un+1 = | ln

600 − 1 ≈ 0,25 , soit 25 % . 48 400 b. Vrai : VF = ( 1 − 0,20 ) × VD . 60 000 = 750 000 . Donc VD = 0, 8 Et 750 000 − 600 000 = 150 000 . c. Faux : car VF = ( 1 + 0,316 ) × VD . 4 005 × 10 9 ≈ 3 043 × 10 9 . Donc VD = 1, 316 C QCM – Établir une relation de récurrence c. Au mois n + 1 , le montant après prélèvement est u n − 120 . La grand−mère de Nath ajoute 0,1 × ( u n − 120 ) . Le montant après le dépôt est donc : u n+1 = ( u n − 120) + 0,1 ( u n − 120 ) = ( u n − 120 ) × 1,1 . B QCM – Reconnaître

majoration des séries à termes positifs, o(vn ) 1 vn . 2 Premier cas : Si vn diverge 1 D’après (*), ∀ n N , vn un . 2 Donc, par critère de minoration des séries à termes positifs, un converge. Deuxième cas : Si un diverge. Par symétrie de la relation d’équivalence, on obtient le résultat. 1 (i − 1) sin n 2. On pose ∀ n 2, un = √ . n + 3 − 1 ln n √ 1 2 sin( ) n |un | = √ . n + 3 − 1 ln n √ 2 De plus |un | ∼ 3 = vn +∞ n 2 ln n √ 2 5 5 On a n 4 vn = 1 , donc lim n 4 vn = 0. On en déduit que n→+∞

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 8 8 8 8 12 3 Un peu de modélisation et de mathématiques financières 3.1 Un peu de terminologie sur les options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Bornes sur les prix et relations de parité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Comment fait-on pour valoriser des options ? . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 L’équation de Black & Scholes (1973) (sans démonstration) . . . . . . 3.5 La notion de volatilité implicite .

plan. En effet, précise Christiane Krine, « nous avons la chance d’être associés très en amont à toutes les actions qui vont nécessiter la mise en place de communication. Cela permet, avec l’ensemble des autres services, de construire une véritable relation de transversalité, à travers notre expertise de communicant ». Ainsi, les collectivités locales s’impliquent-elles progressivement dans une démarche de développement durable en l’associant davantage à leur activité de communication. Anne-Luce Fusz

coefficient multiplicateur n’est pas constant : la consommation ne peut pas être modélisée par une suite géométrique. 2 b. Les dates sont espacées de la même durée de 10 ans. • 8 − 10 = −2 et 6,4 − 8 = −1,6 . Activité QCM – Établir une relation de récurrence D QCM – Interpréter un algorithme Réponse b. Tableau de suivi des valeurs des variables lorsque A vaut 5. A B C 5 Initialisation 5 0 1 1 2 Traitement 5 2 4 (tant que C Ͻ A) 3 8 Sortie 5 3 8 1 Estimer