ANGLE
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Angles orientés de deux vecteursI) Définition :
•
et
•
sont deux vecteurs non nuls.
et
sont deux représentants de ces vecteurs.
• A’ et B’ sont les points d’intersections respectifs des demi-droites [OA) et [OB) avec le cercle trigonométrique (C ).
La mesure en radians de l’angle orienté ( ; ) sont les mesures en radian de ( ′ ;
′)
II) Propriétés des angles orientés
1) Propriétés et sont deux vecteurs non nuls.
•
et
sont colinéaires de même sens si , et seulement si, ( ; ) = 0
•
et
sont colinéaires de sens contraire si , et seulement si, ( ; ) =
2) Relation de Chasles
• Pour tous vecteurs non nuls
( ;
)+( ;
)=( ;
,
et
)+
:
( )
• Soit O, M, N et P quatre points du plan tels que O ≠ M ; O ≠ N et O ≠ P
On a la relation suivante :
(
;
)+(
;
)=(
;
)+
3) Autres propriétés
Pour tous vecteurs non nuls
• ( ; ) = ( ; ) ( )
•( ;
)=
( ; ) ( )
•(
; )=
( ; ) ( )
•(
;
) = ( ; ) ( )
,
:
(
)
Démonstrations
•
Le vecteur ( ; ) est dans le sens contraire du vecteur ( ; ) . L’un est dans le sens direct l’autre dans le sens indirect : d’où l’égalité : ( ; ) = ( ; ) (2 )
• En utilisant la relation de Chasles :
( ;
)=( ; ) +( ;- )
or ( ;
)=
donc ( ;
( )
( ) car ces deux vecteurs sont colinéaires de sens contraires
)=( ; ) +
( )
• En utilisant la relation de Chasles :
(- ; ) = ( or (
; ) +( ; )
; )=
donc (
( )
( ) car ces deux vecteurs sont colinéaires de sens contraires
; )=
+( ; )
( )
• En utilisant la relation de Chasles :
(- ;
)= (
; ) +( ; )+( ;- )
Or ( ;
)=
(2 ) et (
; )=
donc (
;
)=
(
;
)=( ; )+ 2
On obtient donc : (
+( ; )+
;
(2 )
( )
(2 )
)=( ; )+
( )
III) Exemples
Exemple 1 : Le plan est orienté. Les droites (AB) et (DE) sont-elles parallèles ?
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