Seconde

Corrigé du devoir maison : Droite d'Euler
Figure de l'énoncé

Janvier 2009

A) Caractérisation vectorielle de l'orthocentre :  =  +  +  OB OH OA OC 1)  +  =  +  +  +  (d'après la relation de Chasles) OB OC OA ' A'B OA ' A'C  +  =  Or, A' est le milieu de [BC], d'où : A ' B 0 A'C Donc :  +  = 2 OB OC OA ' 2)  =  +  +  OB OH OA OC =  + 2 OA OA '  =  +  (relation de Chasles) Or, OH OA AH  +  =  + 2 D'où : OA AH OA OA ' Donc :  = 2 AH OA ' 3) A' milieu de [BC] O centre du cercle circonscrit au triangle ABC O : point de concours des médiatrices de ABC. D'où : (OA') est une médiatrice du triangle ABC Or, par définition, on sait que la médiatrice d'un segment est perpendiculaire à ce segment en son milieu. Alors, (OA') ⊥ (BC) Comme  = 2 ,  et  sont deux vecteurs colinéaires AH OA ' AH OA ' d'où : (AH) // (OA') Propriété : Si deux droites sont parallèles, alors toute perpendiculaire à l'une est aussi perpendiculaire à l'autre. Donc : (AH) ⊥ (BC)

4) On montre de même que  = 2 et (OB') ⊥ (AC) avec (BH) // (OB') BH OB ' Donc : (BH) ⊥ (AC) 5) (AH) est la droite qui passe par le sommet A du triangle ABC et qui est perpendiculaire au côté [BC]. C'est donc la hauteur issue de A de ce tiangle. Même chose pour (BH) qui est la hauteur issue de B du triangle ABC. Propriété : Dans un triangle, les trois hauteurs sont concourantes et le point de concours est l'orthocentre. Comme (AH) et (BH) se coupent en H, Donc : H est l'orthocentre du triangle ABC B) Droite d'Euler : G centre de gravité du triangle ABC Résultat préalable : Montrons que  = −2 GA GA ' 2  G vérifie :  = AG AA ' 3 (se démontre facilement en partant de  +  +  =  et en introduisant A' GA GB GC 0  et  par la relation de Chasles) dans les vecteurs GB GC  = 2  = 2 ( + ) GA GA A'A A'G 3 3  – 2  = 2 A'G GA GA 3 3 1  2 A'G C'est-à-dire : GA =  3 3  = 2 GA A'G Donc :  = −2 GA GA ' 6)  +  = -2(  +  ) GO GO OA OA ' D'où : 3 = − −2 GO OA OA '