Produit de Cauchy

∈ E deux à deux distincts, σ = [a1 , a2 , . . . , ap ] est un cycle d’ordre p dans SE . Toute permutation s’écrit comme un produit de transpositions. Les cycles engendrent Sn ; les transpositions aussi. L’application ε qui, à une permutation σ ∈ Sn , associe sa signature est un morphisme de groupes. ε(σ) = 1 i σ(j)}|. j−i Et si σ = τ1 ◦ · · · ◦ τr est décomposée en un produit de r transpositions, ε(σ) = (−1)r . Le groupe alterné, constitué des permutations paires de Sn , est le noyau de la signature

pas nous limiter aux espaces m´triques de e e fa¸on ` ce que le langage de la topologie g´n´rale ne soit plus un nouvel obstacle c a e e a ` franchir (de plus les topologies non m´trisables arrivent tr`s vite : convere e gence simple, topologies produit, quotient, de Zariski. . .). Nous avons laiss´ de e cˆt´, en le signalant, la notion de filtre qui ` ce niveau introduirait plus de oe a confusion qu’autre chose mais qui apr`s coup ne pr´sentera pas de difficult´ e e e majeure pour l’´tudiant ayant

réaliser, si besoin, un test génétique pour le dépistage de la mucoviscidose." signatures des parents jours, Vous avez encore des quesTions ? Adresses utiles Association Française pour le Dépistage et la Prévention des Handicaps de l'Enfant. 38, rue Cauchy - 75015 Paris www.afdphe.asso.fr Association Régionale de Dépistage â ge u d g d ép i s T a e L’ Cette brochure ne remplace pas les informations qui peuvent vous être données par votre médecin ou les professionnels qui s’occupent de votre enfant

finie. e 13.1 Suites de Cauchy D´finition 63 e On appelle suite de Cauchy dans un espace vectoriel norm´ (E, . ), toute suite (xn ) valeurs dans E, v´rifiant e e la propri´t´ suivante: ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N tel que ∀p, q ≥ n0 on a: xp − xq < ε ee myismail.chez.com page Chapitre ´ 13 ESPACES VECTORIELS NORMES DE DIMENSION FINIE. 47 Mamouni My Ismail Proposition 49 Soit (xn ) une suite valeurs dans E, les propri´t´s suivantes sont ´quivalentes: ee e (xn ) est de Cauchy. ∀ε > 0, existsn0 ∈ N tel

raison dans ] [, la série converge. 2. ( ) Il s’agit d’une série à termes positifs supérieurs à , qui est le terme général d’une série de Riemann divergente avec . La série diverge. 3. √ ( ) D’après la règle de Cauchy, , la série converge. Allez à : Exercice 3 Correction exercice 4. ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ Cette dernière série diverge (Riemann avec donc la série de terme général diverge. Expliquons quand même un peu 7 ∑ Ainsi, il est plus

que l’état du système est une fonction x de R+ dans Rn ; x est donnée par une équation différentielle ordinaire (EDO) de la forme :  x' (t ) = f (t , x(t ), u (t )) sur ] 0 , + ∞[ ( I )  x(t 0 ) = x0 On supposera que f vérifie les conditions de Cauchy-Lipschitz (théorème ci-dessous) de sorte que l’EDO (I) admette une solution unique notée x[u,x0](.) Un problème de contrôle consiste en : - Une classe de contrôles admissibles Uad⊆Up - Une EDO de type (I) décrivant l’état du système - Une famille

variables séparables Équations exactes Facteurs intégrants Équations "homogènes" 3 M A - S N Équations d’ordre 2 EDO non linéaire d’ordre 2 EDO linéaire d’ordre 2 EDO linéaire d’ordre 2 homogènes EDO linéaire d’ordre 2 non homogène Équations d’Euler-Cauchy E : T 4 S A C 2 A F A EDO linéaire d’ordre n R Anas RACHID (ENSAM-Casablanca) MTH3210:Équations différentielles Février 2015 2 / 42 5 1 0 Définitions Qu’est-ce qu’un système d’équation différentielles ordinaires M A S A C 2 A -

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii 3 Equations différentielles 3.1 Le problème de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Equations différentielles du premier ordre . . 3.1.2 Solution maximale . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3 Le problème de Cauchy . . . . . . . . . . . . 3.2 Equations différentielles linéaires du premier ordre . 3.2.1 Equation homogène . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Equation avec second membre

d’Euclide Complexité de l’algorithme d’Euclide ϕ(n) Fermat et Euler Théorème chinois Déchiffrement RSA Eléments primitifs Théorème de Lucas Fonctions génératrices Jean Dieudonné dans l’Encyclopeadia Universalis Exemples La fonction ζ Produit Eulerien Prolongement analytique de ζ Répartition des nombres premiers Le théorème de la progression arithmétique La fonction ζ PGCD ϕ(n) Fonctions génératrices La fonction ζ Quelques références Excellent résumé dans le premier

fonctions sont aussi présentes au chapitre I, par exemple, et encore plus aux chapitres VI et X, où leur utilité dans l’étude des algèbres de Banach est illustrée dans de nombreux exercices, en collaboration avec le théorème de Hahn-Banach : formule de Cauchy vectorielle, séries de Laurent et formule du rayon spectral, théorèmes de Runge et Liouville, etc. 5. Propriétés isométriques : Une propriété frappante de ces isométries est dégagée au chapitre I : la structure métrique d’un espace vectoriel normé