Produit de Cauchy

n=0 n an z + n=0 n bn z n • si R=R, alors p = min(R, R ). 2 Produit de Cauchy : Le produit de Cauchy des séries entières cn z n avec n an z n et bn z n est la série entière cn = j=0 aj bn−j Théorème : Soit an z n et bn z n tifs R et R'. Notons deux séries entières de rayons de convergence respeccn z n la série entière produit de Cauchy de ces deux séries et R son rayon de convergence, alors : • pour tout nombre complexe

2.2 Produit de Cauchy de deux séries entières an z n et bn z n deux séries entières de rayons de convergence respectifs R et R′ . Leur produit de Cauchy n Soit est : (aj bn−j )z n . n j=0 Cauchy converge absolument et sa somme est le produit des deux sommes : +∞ n +∞ C’est encore une série entière. Il est à noter que ce produit prolonge celui de deux polynômes. Pour |z| < Min (R, R′ ), les deux séries an z n et bn z n convergent absolument, par conséquent leur produit de +∞

Chapitre 9 ´ ´ ESPACES PREHILBERTIENS REELS ET COMPLEXES 1 Structure pr´hilbertienne e 1.1 Produit scalaire euclidien . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Exemples usuels d’espaces pr´hilbertiens r´els . . e e 1.3 Norme euclidienne sur un espace pr´hilbertien r´el e e 1.4 Espaces pr´hilbertiens complexes . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

somme de ces deux suites est-elle convergente ? III.2. Le produit de deux suites Définition 22.17. Le produit de deux suites (un)n∈N et (vn)n∈N est la suite dont le terme d’indice n est unvn. On la note (un)n∈N · (vn)n∈N , soit (un)n∈N · (vn)n∈N = (unvn)n∈N . Proposition 22.18. Soit (un)n∈N et (vn)n∈N deux suites de K. 1) On suppose que la suite (un)n∈N est bornée et que la suite vn est convergente et de limite nulle. Alors le produit (un)n∈N · (vn)n∈N est une suite convergente de limite nulle

déterminant avec alternance de signes, produits de plus en plus longs, du type : • 1 − a1 + a1 .a2 − a1 .a2 .a3 + . . . aux signe près. q ap avec q pouvant aller de 1 à p=1 n − 1. Et même de 0 à n − 1. Le produit vide donne le 1. On somme ces termes, avec une q p alternance en (−1) (et pas (−1) puisque p est celui qui sert à faire le produit). En fait, n−1−q n−1 il faut même (−1) pour que le terme q = 0 soit en (−1) et pour que le terme On a le produit de termes de plus en plus longs, comme

s’agit : la découverte des fonctions cartésiennes, le calcul différentiel, la dynamique (souligner Leibniz, Cauchy, Euler et les autres). Après Euler un blocage se produit, jusqu’à l’effort de rigueur réalisé dans deux voies par les mathématiciens du XIXème siècle : d’un côté sont élucidés les concepts de base de l’analyse –infiniment petit, limite, continuité, convergence etc..- (Gauss, Cauchy, Bolzano, Abel) ; et de l’autre la représentation des fonctions par des séries trigonométriques pour la

réels est convergente si et seulement s’il existe un réel l vérifiant ∀ ε > 0 ∃ Nε ∈ N ∀ n Nε |un − l | ε Le réel l est alors unique et on le note l = lim un . n→+∞ Théorèmes sur les limites Toute suite convergente est bornée. Le produit d’une suite bornée par une suite qui converge vers 0 est convergente vers 0. Si (un )n∈N et (vn )n∈N sont deux suites réelles convergentes et α ∈ R • La suite (un + αvn )n∈N converge et lim un + αvn = lim un + α lim vn . n→+∞ n→+∞ n→+∞

proies, le taux de morts parmi les prédateurs est proportionnel à la taille de la population; 3 t→+∞  le taux de disparition des proies est proportionnel au nombre de rencontres entre une proie et un prédateur, supposé lui-même proportionnel au produit des deux populations;  la taux de croissance des prédateurs est aussi proportionnel au nombre de rencontres entre proie et prédateur. Si N est l'eectif des proies et P celui des prédateurs, on obtient le système d'équations : dN (t) = N (a −

le terme général porte une puissance n−ième sont bien adaptées à l’utilisation du critère de Cauchy. On a ici : √ n un = n−1 → 1/2. 2n + 1 La série converge. 3. C’est un peu plus dur. On sépare les termes pairs et impairs. On a : 1 √ u2p = , 2 et par application du critère de Cauchy, la série de terme général u2p converge. D’autre part, √ 2p+1 u 2p+1 = 2, 2p et par application du critère de Cauchy, la série de terme général u2p+1 diverge. Ecrivant la STG un comme somme d’une série convergente

(resp. AB) désigne l’ensemble des sommes (resp. des produits) d’un élément de A et d’un élément de B). no 6 : (****) Soit un le chiffre des unités de Ck , k entier naturel fixé non nul et n entier naturel supèrieur ou égal à n k. Montrer que le nombre 0, uk uk+1 uk+2 ... est rationnel. no 7 : (**) (Inégalités de Cauchy-Schwarz et de Minkowski) Soient a1 ,..., an , b1 ,..., bn des nombres réels. n n n n 1) En considérant la fonction f : x → Cauchy-Schwarz). (ak + xbk )2 , montrer que | k=1 k=1