Produit de Cauchy

Inégalités 0. Techniques élémentaires. 1. Inégalités de réordonnement. 2. Inégalités de Tchebychev. 3. Inégalités tayloriennes. 4. Inégalités de convexité. 5. Inégalités de la moyenne. 6. Inégalités de Cauchy-Schwarz, etc. 7. Inégalités de Hardy. 8. Inégalités de Hilbert. 9. Inégalité de Muirhead. 10. Inégalités isopérimétriques. Pierre-Jean

Fonctions intégrables, intégrale de Riemann . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Calcul des primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Intégration d’un produit de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Méthodes d’approximation numérique des intégrales . . . . . . . . . 3.7 Définition des intégrales généralisées . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8 Intégrales généralisées des fonctions positives

Rb 0 1 l’application J : ' 7! a L (x; '(x); ' (x)) dx est de classe C sur l’ouvert . De plus pour ' 2 et 2 E; Z b @L @L dJ'( ) = (x; '(x); '0 (x)) (x) + 0 (x; '(x); '0 (x)) 0 (x)dx @y a @y ( @L @L @L @L @L @L = ; :::; ), = ; :::; 0 ), et est le produit scalaire dans Rn ). 0 @y @y1 @yn @y @y10 @yn Condition nécessaire On considère les sous espaces de E: F = F ; = f' 2 E : '(a) = et '(b) = g( ; 2 Rn ) sous espace a¢ ne (fermé) de E F0;0 = f 2 E : (a) = 0 et (0) = 0g sous espace vectoriel parallèle

. . . e 3.3.2 Multiplication par une fonction de classe C ∞ . . 3.3.3 Localisation et recollement des distributions . . . 3.3.4 Changement de variables dans les distributions . 3.3.5 D´rivation/Int´gration sous le crochet de dualit´ e e e 3.3.6 Produit de distributions . . . . . . . . . . . . . . 3.4 La formule des sauts et ses variantes . . . . . . . . . . . 3.4.1 Formule des sauts en dimension N = 1 . . . . . . 3.4.2 Formule des sauts en dimension quelconque . . . 3.5 Distributions homog`nes

phénomène optique qui apparaît dans l'atmosphère terrestre, quand la lumière solaire (ou lunaire) y subit une réflexion, réfraction, diffraction ou des interférences déterminées par des circonstances particulières. En particulier, l'arc-en-ciel est produit par la réfraction et la réflexion successives de la lumière dans des gouttelettes d'eau qui agissent comme un prisme c'est à dire qu'elles décomposent le spectre de lumière blanche. Il peut s'agir de la lumière du soleil ou d'une lumière artificielle

N (x )  x Sur ℝ ou C : N (x )  x Prop :  x, y  E 2 , N x  N y  N x  y         Prop : Si x , x x , y est un produit scalaire sur E , on définit la norme associée par x Ex : Soit E  ℝ2 , et pour tout x  a , b , N x  a 2  2ab  5b2 , montrer que N définit     une norme sur E

PRODUIT SCALAIRE ET PRODUIT VECTORIEL DANS L'ESPACE EUCLIDIEN Avant toutes choses, nous avons besoin dans ce chapitre d'orienter l'espace, c'est-à-dire distinguer les deux types de repères suivants : K K → Repère direct k → → k J → → Repère O I indirect O → j j → i i I J Soit un observateur se tenant debout, dans l'axe (O, k ), les pieds en O et regardant le point I. Un repère est dit "direct" si, l'observateur à le point J à sa gauche. Il est dit "indirect"

n 1 vn avec n2 √ un vn ≤ un et vn sont convergentes, il 1 (un + vn ) 2 1 convergente n2 Le théorème précédent permet de retrouver le fait qu’une série absolument convergente est convergente sans recours au critère de Cauchy (exercice 25.19). De théorème précédent, on déduit les critères de comparaison aux séries de Riemann suivant. Corollaire 26.1 Soit un une série à termes réels positifs. 1. S’il existe un réel α > 1 tel que la suite (nα un )n∈N soit bornée

due ` Peano ( 1890). Il s’agit de construire une suite de fonctions continues f n : [0, 1] → [0, 1]2 telles que a ◦ si l’on note δn la distance maximale d’un point de [0, 1]2 ` l’image de f n , on a δn n→∞ 0, a −→ ◦ la suite (f n )n est une suite de Cauchy pour la distance |h − g| = supt∈[0,1] h(t) − g(t) . le second point implique alors qu’il existe une fonction f : [0, 1] → [0, 1]2 qui est continue et telle que fn (t) n→∞ f (t) −→ pour tout t ∈ [0, 1], tandis que le premier point implique que f est

Soient S un espace mesuré, p, q > 0 (la valeur +∞ étant permise) vérifiant la « relation de conjugaison » f ∈ Lp(S) et g ∈ Lq(S). Alors, le produit fg appartient à L1(S) et sa norme est majorée naturellement : Plus généralement1, pour 0 < p, q ≤ +∞ et r défini par 1/r = 1/p + 1/q, si f ∈ Lp(S) et g ∈ Lq(S) alors fg ∈ Lr et ║fg║r ≤ ║f║p ║g║q. De plus, lorsque p et q sont finis, il y a égalité si et seulement si |f|p et |g|q sont colinéaires presque partout (p.p.), c'est-à-dire s’il