Produit de Cauchy

équivalentes x0 x0 Si f 1 ∼ g1 et f 2 ∼ g2 , alors f 1 f 2 ∼ g1 g2 et x0 x→x0 x→x0 f 1 g1 ∼ · f 2 x0 g2 Si f ∼ g et si lim g(x) = l , alors lim f (x) = l . Des deux théorèmes précédents, il résulte que, lorsque l'on a à chercher la limite d'un produit ou d'un quotient, on peut remplacer chacune des fonctions par une fonction équivalente, choisie pour simplifier le calcul. Mais attention à ne pas effectuer un tel remplacement dans une somme, ni dans une fonction composée. 1.4 Équivalents classiques

variations, calcul des dérivées, graphes. Complément : formes logarithmiques de Arg sh et de Arg th puis dérivée de Arg th . D) Trigonométrie 1 - Périodicité 2 - Rappels de trigonométrie, formules d’addition, de transformation de sommes en produits et de produits en sommes, arc double et arc moitié. 3 - Rappels sur les fonctions trigonométriques, dérivée, sens de variation, graphe. 4 - Définition des fonctions trigonométriques réciproques Arc sin, Arc cos et Arc tan, étude des variations, calcul des

d’après la relation (1) r diminue. Puis d’après la relation (3), r augmente et enfin, d’après la relation (2) i augmente. Lorsque i atteint i0 , i atteint sa valeur maximale π . Lorsque i devient inférieur à i0 , le rayon émergent disparaît car il se produit un 2 phénomène de réflexion totale à la sortie du prisme. On a sin i0 = n sin r0 = n sin(A − r0 ) avec 1 1 sin r0 = n . D’où i0 = arcsin[n sin(A − arcsin n )] A.1.4 On a D = i + i − A = i − A + arcsin(n sin r ) = i − A + arcsin[n sin(A − r)]

Document créé le 8 février 2014 Lien vers la dernière mise à jour de ce document Lien vers les exercices de ce chapitre Chapitre 19 Espaces préhilbertiens réels Sommaire 19.1 Produit scalaire, norme et distance . . . . . . . . . . . . 19.1.1 Produit scalaire sur un R espace vectoriel . . . . . . . . 19.1.2 Norme et distance associée . . . . . . . . . . . . . . . . 19.2 Orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19.2.1 Vecteurs orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . .

autorisée est un délit. Théorème de Gauss a|bc pgcd( a, b) = 1 =⇒ a|c ∀( a, b, c) ∈ (Z∗ )3 Produit du PGCD par le PPCM pgcd( a, b) · ppcm( a, b) = | a · b| ∀( a, b) ∈ (Z∗ )2 Nombres premiers On dit qu’un entier p ∈ N est premier si et seulement si p vérifie : ∀ a ∈ N∗ , ( a| p =⇒ ( a = 1 ou a = p)) 2 et s’il Décomposition en nombres premiers Tout entier n ∈ N \ {0, 1} admet une décomposition unique en un produit de nombres premiers à l’ordre près des facteurs. 8 [1] Mathématiques 1.5 Polynômes

4 2 5 1, 4142 . . . π 3, 14159265 . . . Il est souvent pratique de rajouter les deux extrémités à la droite numérique. Définition 1 R = R ∪ {−∞, ∞} Mini-exercices 1. Montrer que la somme de deux rationnels est un rationnel. Montrer que le produit de deux rationnels est un rationnel. Montrer que l’inverse d’un rationnel non nul est un rationnel. Qu’en est-il pour les irrationnels ? 2. Écrire les nombres suivants sous forme d’une fraction : 0, 1212 ; 0, 1212 . . . ; 78, 33456456 . . . ← → ←→

Aurélien Algorithmique Numérique Matrice de permutation élémentaire i ↔ j : 1        Pi , j =           O 1 0 1 O 1 1 0 1 1       → ligne i       → ligne j    O  1   Le produit PA permute les lignes i et j de la matrice A. Le produit AP permute les colonnes i et j de la matrice A. (à compléter avec le cours : obtention de la factorisation et utilisation de la factorisation ) Esnard Aurélien Algorithmique Numérique Factorisation A=BBt : Cholesky

)2 = − 2 c2 ∂yz . 2 ∂yz u = 0 ∂t = c ( ∂y − ∂z ) , On doit donc r´soudre le probl`me e e dans les nouvelles variables, dont la solution est ´videmment de la forme e u(y, z) = f (y) + g(z) . 9 2.2.a Probl`me de Cauchy sur R e Soit ` r´soudre le probl`me de Cauchy : a e e  2 2  ∂tt u − c2 ∂xx u = 0     u(x, 0) = φ(x) ,      ∂t u(x, 0) = ψ(x) . Il s’agit d’exprimer les fonctions f et g apparaissant dans la forme g´n´rale de la solution e e en fonction de φ et ψ. Les deux ´quations

individu on connaît le couple d’observations (xi , yi ). 3.1.1 Covariance n Définition 1. On définit la covariance de X et Y par : 1 Cov(X, Y ) = n [(xi − x)(yi − y )] . ¯ ¯ i=1 L’unité dans laquelle est exprimée la covariance est le produit des unités de X et de Y . Remarque 1. Lien avec la variance : Cov(X, X) = V ar(X). Remarque 2. Formule pratique : Cov(X, Y ) = 1 n n xi y i i=1 − xy . ¯¯ Exemple : on s’intéresse à la liaison entre la taille T et la pointure P dans une

Les espace Lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 6.2 Int¶egrales d¶ependant d'un paramµetre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 7 Produit d'espaces mesur¶es 53 7.1 Produit d'espaces mesurables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 7.2 Mesure produit, Th¶eorµeme de Fubini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 7.3 Changements de variables et int¶egration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 1 Introduction Ce cours