Produit de Cauchy

et euclidiens Révisions suites et séries de fonctions E est un R-espace vectoriel 1 Produit scalaire 1.1 Formes bilinéaires symétriques 1.1.1 Dénition Structure d'espaces vectoriels pour l'ensemble des formes bilinéaires et l'ensemble des formes bilinéaires symétriques 1.1.2 Formes bilinéaires positives Dénition :Formes bilinéaires positives et dénies positives Inégalité de Cauchy-Schwarz(démo) 1.2 Formes quadratiques 1.2.1 Dénition Structure d'espace vectoriel pour

de ζ en +∞. e II. Produit de Cauchy de la s´ rie altern´ e par elle-mˆ me e e e On rappelle que le produit de Cauchy de deux s´ ries e n −1 n ≥1 e ∑ an et ∑ bn est la s´ rie ∑ cn , n ≥1 n ≥2 ` ou cn = k =1 ∑ a k bn − k . n ≥2 Dans cette partie, on veut d´ terminer la nature, selon la valeur de e x, de la s´ rie e ∑ cn (x), produit de Cauchy de ∑ (−1)n−1 par elle-mˆ me. e nx n ≥1 ´ Cette etude va illustrer le fait que le produit de Cauchy de deux s´ ries convergentes

lorsque ce que l’on note un ∼ n→+∞ = + o(xn ) sin x (1.4) Dans le contexte 1.2 ou 1.3, si g(x) −→ l (r´el, complexe ou ±∞), alors f (x) −→ l. e n→+∞ + o(x2n ) x e −1 sh x vn + o(vn ) arctan x vn . Ceci se produit si et seulement si ln x un −→ 1. vn n→+∞ + o(xn ) ∼ x ∼ x ∼ x ∼ x ∼ x ∼ x−1 ∼ ∼ 1 1 x→0 x→0 x→0 x→0 x→0 x→1 et en cas de limite non nulle : ex cos x (1.6) Dans le contexte 1.5

de P(X) sont des entiers : en développant les par la formule du binôme et en posant le polynôme Q(X) est de degré égale à np c'est le produit de n polynômes de degré p, par la formule du binôme on peut exprimer le produit comme un polynôme donc de degré np et à coefficients entiers (une recurrence permet de le montrer en partant du produit de Cauchy de deux polynômes que les coefficients qui initialement étaient entiers restent bien entiers) en dérivant le polynôme P à l'ordre p

fonction discontinue devint importante dans l'approche analytique plus rigoureuse de Cauchy. En plus de son poste de mathématiques, il était professeur de physique au Collège Royal de Strasbourg. En 1794 il devint Professeur de Calcul a l'École Centrale (qui allait bientôt devenir l'École polytechnique) mais il enseigna à l'École Préparatoire. On lui doit le concept général de factorielle en tant que produit d'un nombre fini de termes en progression arithmétique et une notation de calcul des

=1 n a) Montrer que (Σn )n≥1 est bornée. b) En déduire que (S n )n≥1 converge. Exercice 24 Soit un = vn = (−1)n pour n ≥ 1 . n a) Montrer que les séries ∑ un et ∑v n convergent. b) Montrer que la série correspondant au produit de Cauchy des séries ∑u n et ∑v n diverge. Exercice 25 Déterminer la nature de la série de terme général : un = (−1)n ∑ k =1 n k + (−1)n−1 Calculs de sommes Exercice 26 Existence et calcul de +∞ 5n + 6 a) ∑ n =1 n

français : nom donné au régime politique de la France sous l’autorité du maréchal Pétain de 1940 à 1944. -milice : organisation paramilitaire française fondée en 1943 pour combattre les résistants et traquer les opposants au régime de Vichy. -ersatz : produit de remplacement de qualité inférieure. -STO : service du travail obligatoire. -réseau : ensemble de personnes en relation poursuivant un but caché. -marquis : lieu d'accès difficile où se réunissaient les résistants pendant la deuxième guerre mondiale

Exercice 2 1. D´eterminer les valeurs propres et vecteurs propres de la matrice   1 0 1 A= 0 1 0  1 0 2 2. En d´eduire une diagonalisation de la matrice A dans une base orthonorm´ee. Exercice 3 Soit E un espace euclidien de dimension n muni du produit scalaire not´e < ·, · > et f un endomorphisme non nul de E qu’on suppose antisym´etrique, c’est-`a-dire tel que < f (x), y >= − < x, f (y) > pour tous x, y ∈ E. 1. Si F est un sous-espace vectoriel de E on note F ⊥ son orthogonal, d´efini par F

grandeur de l’´cart relatif ∆un /un observ´ e e entre la deuxi`me ou troisi`me colonne et la premi`re colonne. On voit que cet e e e ´cart augmente constamment pour atteindre environ 10−3 sur u24 . Pour le calcul e e e e de u25 , il se produit une v´ritable catastrophe num´rique : l’´cart relatif devient voisin de 100% ! Il en r´sulte que toutes les valeurs calcul´es ` partir de u25 sont e e a certainement non significatives pour une pr´cision des calculs de 10−9 . e Pour comprendre

septembre 2006 W. Bertram 2 1. Continuité dans les espaces métriques Chapitre 1 Continuité dans les espaces métriques L’espace euclidien est l’espace vectoriel Rn , muni de structures que l’on appelle métriques, comme la distance ou le produit scalaire. Si l’on retient seulement la notion de distance et on oublie tout le reste, on arrive à la définition d’un espace métrique : c’est un ensemble muni d’une application qui à un couple de points (x, y) associe leur distance d(x, y). Dans cette