Produit de Cauchy

Notes de cours sur la m´thode des ´l´ments finis e ee M1 MAI Eric Blayo Janvier 2010 ii Table des mati`res e 1 Outils d’analyse fonctionnelle 1.1 Quelques rappels . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Normes et produits scalaires . . . . . 1.1.2 Suites de Cauchy - espaces complets 1.2 Espaces fonctionnels . . . . . . . . . . . . . 1.3 Notion de d´riv´e g´n´ralis´e . . . . . . . . . e e e e e 1.3.1 Fonctions tests . . . . . . . . . . . . 1.3.2 D´riv´e g´n´ralis´e . . . . . . . . . . e

géométrie descriptive. Leonhard Euler développe le calcul trigonométrique, met en place les formules de calcul de la géométrie sphérique et replace les fonctions circulaires dans l'ensemble général des fonctions, les développant en séries entières ou en produits infinis et découvrant une relation entre les fonctions circulaires et les fonctions exponentielles Le siècle voit l'apparition de quelques théoriciens de la logique. Leonhard Euler met au point une méthode de représentation figurée des déductions

18/02/2013 TD 16 : Espace euclidien Rn M P SI:2012−2013 Exercice 1 On se place dans R4 muni du produit scalaire euclidien. 1. Déterminer une base orthogonale du sous-espace vectoriel E engendré par u1 = (1, 0, 0, −1) et u2 = (−1, −1, 1, 1). En déduire une base orthonormale de E . 2. Déterminer le sous-espace vectoriel orthogonal de E , E ⊥ . En déduire une base orthonormale de E ⊥ . a) b) c) Donner une base orthonormale de R4 autre que la base canonique. Quelles sont les coordonnées

géométrique avec le minimum d’axiomes possibles. Évidemment si on prenait comme axiome : « Soit E un espace vectoriel muni d’un produit scalaire nommé ‘|’ alors (x|y)² < (x|x).(y|y) et cette inégalité est une égalité si et seulement si x et y sont proportionnels. », ça serait moins flagrant comme preuve… Au passage, l’assertion précédente s’appelle l’inégalité de Cauchy-Schwartz et ce n’est pas un axiome mais une proposition que l’on peut démontrer (moins de 10 lignes) grâce à d’autres propositions

n + 1 n=1 n n=1 n n=1 n n=0 1.3 Op´ erations sur les s´ eries Soient deux s´eries de terme g´en´eral un et vn convergentes. Leur somme est la s´erie de terme g´en´eral un + vn , c’est-`a-dire ∞ ∞ ∞ n=1 n=1 n=1 (un + vn ) vn = un + Le produit d’une s´erie de terme g´en´eral un par un nombre λ est une s´erie de terme g´en´eral λun , c’est -`a-dire ∞ λ ∞ un = n=1 λun . n=1 Dans la suite, on ´etudiera en d´etails deux s´eries num´eriques particuli´erement importantes. Elles nous servirons

solution e e e x ∈ C 1 ([t1 , t2 ], Rd ) de (E) passe par x0 ` l’instant t0 si x(t0 ) = x0 . Une solution x(t) de (E) sera aussi appel´e trajectoire a e de (E). On admet le th´or`me de Cauchy-Lipschitz (avec d´pendance C ∞ en les donn´es initiales), qu’on utilisera sans e e e e d´monstration : e Th´or`me de Cauchy-Lipschitz. Soit f ∈ C ∞ (Rd , Rd ) et t0 ∈ R, x0 ∈ Rd . Alors il existe τ > 0 et r > 0 et une fonction e e ϕ(t, y) de classe C ∞ , d´finie sur ]t0 − τ, t0 + τ [×B(x0 , r), ` valeurs dans

e e leurs sous-groupes), en relation ´troite avec l’alg`bre lin´aire et la g´om´trie. Il convient notamment d’´tudier e e e e e e des exemples simples de r´alisations g´om´triques de groupes finis par des groupes d’isom´tries. e e e e D´finition du produit de deux groupes. e L’´tude g´n´rale des groupes et des actions e e e D´finition d’une partie g´n´ratrice d’un groupe. e e e de groupe, ainsi que celle des groupes finis, D´finition d’une action (ou op´ration) (g, x) → gx d’un e e est hors programme.

pas simple à mettre en œuvre et on préfère considérer les variations de deux vecteurs "matériels". Mathématiquement, cela revient à examiner les variations du produit scalaire de ces deux 31/08/2013 Mécanique des Milieux Continus Page 14 Arts et Métiers ParisTech Centre d'Enseignement et de Recherche de CLUNY vecteurs. Un produit scalaire invariant quels que soient les deux vecteurs considérés est équivalent à une déformation nulle du milieu (pas de variation de longueur, pas de variation

preuves ) 7. Inégalité de Cauchy-Schwarz dans R n (Enoncé + démonstration ) 8. Partie entière : définition (avec démonstration ) + Comparer E(−x) et E(x) + Comparer E(x + y) et E(x) + E(y) 9. Densité de Q et de R \ Q (Enoncé + démonstration ) 10. Définition de suite convergente dans K ; démontrer l’unicité de la limite + montrer qu’une suite convergente est bornée 11. Définition d’une sous suite +théorème fondamental : énoncé et démonstration 12. Convergence dans C d’un produit de suites : énoncé et

2 Suites arithm´tiques, g´om´triques e e e g´om´triques . . . . . . . . . . . . . e e 2.2 Th´or`mes d’existence de limite . . . . . . . e e 2.2.1 suites monotones . . . . . . . . . . . 2.2.2 Suites adjacentes . . . . . . . . . . . 2.2.3 Suites de Cauchy . . . . . . . . . . . 2.2.4 Encadrements . . . . . . . . . . . . . 2.3 R`gles de calculs . . . . . . . . . . . . . . . e 2.4 Sous-suites et valeurs d’adh´rence . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .