Parallélogramme

C et D sont quatre points du plan.   Dire que les vecteurs AB et DC sont égaux signifie que les trois propositions suivantes sont vérifiées - La translation qui transforme A en B transforme aussi D en C, - Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme, éventuellement aplati,   - Les vecteurs AB et DC ont la même direction, le même sens et la même longueur. Figure Propriété :  -Si AB  DC alors les segments [AC] et [BD] ont le même milieu. -Si deux segments [AC]    et[BD]

Droites particulières et point de concours médiatrice de côtés (centre du cercle inscrit) bissectrices des angles ( centre du cercle inscrit) médianes (centre de gravité) hauteurs (orthocentre) Quadrilatères parallélogramme rectangle losange carrée → savoir passer de l'un a l'autre. Repère et coordonnées → transformer les figures en nombre. Repère Définition : On appelle repère du plan un triplet (O,I,J) de trois distincts et non alignés

Le centre de gravité se trouve à l’intersection ……………………… b) Un rectangle : * Le centre de gravité se trouve à l’intersection ……………………… c) Un triangle : * Le centre de gravité se trouve à l’intersection ……………………… d) Un parallélogramme : * Le centre de gravité se trouve à l’intersection ……………………… e) Un disque : * Le centre de gravité se trouve à l’intersection ……………………… f) Un trapèze quelconque : Par la méthode des triangles : Réalise ce schéma sur une

(10 points) On considère trois points A(3 ; 2), B(1 ; 4) et C(5 ; 6) dans un repère orthonormé (O,I,J) du plan. 1. Donner la nature du triangle ABC. 2. Déterminer les coordonnées d'un quatrième point D tel que le quadrilatère ABCD soit un parallélogramme. 3. Déterminer l'équation de la droite (d), parallèle à la droite (AC), passant par B. 4. On considère trois autres points E(10 ; 23), F(-5 ; -22) et G(1 ; -4). Ces trois points sont-ils alignés ? Justifier votre réponse. 5. Justifier la phrase

points) 1°) Soit le vecteur . Quel nom donne-t-on au point A ? (0.25) Le point A est l'origine du vecteur . Quel nom donne-t-on au point B ? (0.25) Le point B est l'extrémité du vecteur . 2°) Si le quadrilatère ABDC est un parallélogramme, éventuellement aplati, alors, que peut-on dire des deux vecteurs et ? (1) Les vecteurs et sont égaux. 3°) Expliquez les conditions nécessaires pour que deux vecteurs soient égaux ? (1,5) Pour que deux vecteurs soient égaux, ils

).( u - v ) = u - v Démonstration : évident. (On utilise la linéarité et la symétrie du produit scalaire) Applications : 1) Identité du parallélogramme : ( u + v ) + ( u - v ) = 2( u + v ) ® ® 2 ® ® 2 ®2 ®2 ® ® ® ® (Si ABCD est un parallélogramme, en posant u = AB et v = AD , on obtient une relation entre les diagonales et les côtés du parallélogramme : AC2 + BD2 = 2(AB2 + AD2) ce qui est bien pratique) 2) Inégalité triangulaire : comme u . v  || u || . || v || (cos q  1), on a : || u +

- v Démonstration : évident. (On utilise la linéarité et la symétrie du produit scalaire) Applications : ® 1) Identité du parallélogramme : ® 2 ® ® 2 ®2 ®2 ( u + v ) + ( u - v ) = 2( u + v ) ® ® ® ® (Si ABCD est un parallélogramme, en posant u = AB et v = AD , on obtient une relation entre les diagonales et les côtés du parallélogramme : AC2 + BD2 = 2(AB2 + AD2) ce qui est bien pratique) ® ® ® ® 2) Inégalité triangulaire : comme u . v  || u || . || v ||

n° 4 : pgcd (235 ; 376) = 47. Affirmation n° 5 : Les droites (AB) et (DC) du quadrilatère ABCD c i-contre sont parallèles. (Sachant que OA = 2,8 cm ; OB = 1,96 cm ; OC = 5 cm ; OD = 3,5 cm) Exercice 3 France 2012 3 points JGIH est un parallélogramme, JGI = 110° et GIJ = 30°. Calculer la mesure de l'angle JIH en détaillant le raisonnement.

1°) Si  2°) ], alors : [– 5 ; 1]   [– 4 ; 3] [– 2 ; 1] est une fonction strictement décroissante sur [0 ; 10] alors :  ( ) ( )  ( ) ( )  est négative  aucune de ces réponses  aucune de ces réponses 3°) La proposition « ABCD est parallélogramme » est équivalente à :     AB = DC  AB =⃗⃗⃗⃗⃗⃗  AC = BD  aucune de ces réponses 4°) Le nombre de solution de l’équation 0  1  aucune de ces réponses Exercice 6 est : 2 (6 points) Dans une classe de 30 élèves, seuls quatre

NOMBRES COMPLEXES • SUJET III lliillil NOMBRES COMPLEXES • SUJET T *• 5. Prouver que OM = - DA . (0,5point) ( 6. On appelle J, K et L les milieux respectifs des segments [CD], [DA] et [AB]. On admet que le quadrilatère JKLM est un parallélogramme, démontrer que c'est un carré. (1 point) -ia) = z -ti( I i ........ (|ui nous d onne avec a = 2 + i : (z-a)(z-ia) = z' (1+31) ( + 31, soit : (z-a)(z- la) =f(z) . f(z) = 0 équivaut donc à : (z- a)(z un n c'est-à-dire