Parallélogramme

définir un repère. Les deux vecteurs a et b sont caractérisés en particulier par leur longueur a et b et par l’angle  entre leurs directions. Quels sont les différentes possibilités pour ces trois paramètres a, b et ? a≠b  quelconque  parallélogramme a≠b  = π/2  rectangle a = b  quelconque  losange a = b  = 2π/3  losange à 2π/3 a = b  = π/2  carré A partir de ces différents repères on peut définir des ensembles de points qui sont les extrémités des vecteurs R = ua +

[BC] c) En déduire la nature du quadrilatère AMDG. On définit le point G par l'égalité vectorielle :  +  +  =  GA GB GC 0 Exercice 7 1. Exprimer  en fonction de  '. AG AA AB CD =  +  . 2. Que peut-on conclure pour G. Soit ABCD un parallélogramme tel que AB = 10 cm et AD = 6 cm. On considère les points I, L et K tels que : Exercice 4 ABC est un triangle 1. Placer les points H et G vérifiant les relations suivantes :  = AH −3 4 + AB 1 2  = 1  ,  1  et = 3  AI AB DL= CK

triangle AMB est isocèle, MO  est la deuxième hauteur, H est le point d′ intersection des deux hauteurs c′ est donc l′orthocentre du triangle. Ex 36 p245 : a) Soit le triangle ADB , E milieu de AB  donc DE  médiane issue de D . O le centre du parallélogramme ABCD donc O milieu de DB et  AO  médiane issue de A . F est le point d′intersection des deux médianes c′est donc le centre de gravite du triangle ABD . 2 1 On a : DF  DE et FE  DE donc FD  2 FE . 3 3 b) G , E , D et B, E , A sont deux séries

− sions sont égales, donc OE = AD ⇒ OE = AD ⇐⇒ OE = AD. 3. a. Par définition du quart-de-tour B est l’image de A dans le quart-de-tour de centre O, on sait que zB = izA et de même zD = izC . −→ −→ −→ − − − D’autre part OBEC est un parallélogramme ⇐⇒ OE = OB + OC ⇐⇒ zE = zB + zC = izA + zC . b. En utilisant les deux derniers résultats précédents : zD − zA izC − zA i (zC + izA ) = = = i. zE izA + zC izA + zC c. En utilisant module et argument des deux nombres complexes précédents

est perpendiculaire à (DE) -1 0 1 Dans un triangle DEF rectangle en D, la médiatrice du côté [DF]: est parallèle à (DE) est passe par le milieu perpendiculaire de [EF] à [EF] Dans quel(s) cas, le quadrilatère IJKL est-il un parallélogramme? [IL] et [JK] ont le même milieu (IJ) // (LK) et (IL) // (JK) (IJ) // (LK) et IJ = JK [IK] et [JL] ont le même milieu Q R Q P P M A R I 60° M Dans quel(s) cas le point M est-il le milieu du segment [PQ]? M N

8. L’équation (E) peut donc s’écrire : Les solutions de l’équation (E) sont donc les solutions de z - 2 = 0 ou de z2 + 4z + 8 = 0. On trouve trois solutions : Deuxième partie La figure complétée est en fin de sujet. ABCD est un parallélogramme si et seulement si = . L’égalité des affixes de ces vecteurs fournit L’affixe zE de E vérifie la relation : De même, l’affixe zF du point F vérifie : La figure complétée : On a facilement : On en déduit l’égalité :

des murs d'une maison dessinée. | Modalités possibles de différenciation: Pour des élèves en difficultés: Recours possible à la téquerre et au calque. Pour des élèves précoces: Vérifier le parallélisme de figures plus complexes (parallélogramme, trapèze) et compléter des figures de même complexité en traçant des droites parallèles. Remédiations envisagées: Pour des difficultés à vérifier le parallélisme: refaire collectivement, étape par étape, les manipulations nécessaires. Faire

jusqu'à 17% d'intentions de vote. Il pouvait donc passer au second tour si Lionel Jospin obtenait moins de 17%. Exercice 5 : [ [ [ ] ] ] C E D Exercice 6: La construction se fait à la règle et au compas en utilisant les propriétés du parallélogramme Exercice 7 : 1 C 2 B 3 D 4 A 

) + x2 ( y3 − y1 ) + x3 ( y1 − y2 )] . 2 11. a) Soit un parallélogramme ABCD de base b et de hauteur h. En abaissant du point C une perpendiculaire CE sur le prolongement de AD, on détermine un triangle CDE dont l’aire est égale à celle du triangle ABH. Les aires du parallélogramme ABCD et du rectangle HBCE sont donc égales. Or, l’aire du rectangle est A = bh. b) Soit un triangle ABC de base b et de hauteur h. On construit le parallélogramme ABDC de même base, b, et de même hauteur, h, que le triangle

Implémentation des éléments finis en Matlab 1. Introduction : Une courte exécution de Matlab pour les éléments finis P1-Q1 sur des triangles et des parallélogrammes est donnée pour la résolution numérique des problèmes elliptiques avec des conditions aux frontières mixtes sur des grilles non structurées. Selon la brièveté du programme et de la documentation donnée, n'importe quelle adaptation des exemples modèles simples, à des problèmes plus complexes, peut facilement être exécuté.