Parallélogramme

3 =(x-3) ·(x3 +1) 4) Soit MNPQ un parallélogramme, ses diagonales se coupent en E. Les points A et B appartiennent à la diagonale [NQ] tels que MA // PB. Démontre que - MAQ est isométrique à NBP - |EA| = |EB| Construction : Hypothèses : MNPQ parallélogramme MP QN ={ Ε} Α et Β ∈ [NQ] MA // PB Thèse : 1) MAQ iso NBP 2) |EA| = |EB| ⊃ Démonstration : 1) |MQ| = |AP| car côtés opposés d'un parallélogramme ∣∣=∣∣ car angles opposés d'un parallélogramme MQA PNB ∣=∣∣ car angles à côtés parallèles

1+ 1 1 x+3 x .. A= − ; B=x ; C = x+3 ; D= 2 x 1 x + 1 ( x + 1) 3x 1− x ( x + 3) 2 Page 2 POINTS ET VECTEURS Rappel. Vecteurs égaux. AB = CD si et seulement si [ AD] et [ BC] ont le même milieu, c’est-à-dire si et seulement si ABDC est un parallélogramme (éventuellement aplati). Vecteurs colinéaires. On dit que u et v sont colinéaires lorsque v = 0 ou u = kv avec k ∈ ℝ k si k ≥ 0 Si AB = k CD alors AB = k CD et (AB) // (CD). (Rappel : k =  .) −k si k < 0 Relation de Chasles. Pour tous points

= −4 − 6 − xE = −10 xE = 10 10  E  0 4. AB = BD donc B est le milieu de [AD]. B est le milieu de [AD] et B est le milieu de [EC] donc ACDE est un parallélogramme. (Un quadrilatère qui a ses diagonales qui se coupent en leur milieu est un parallélogramme) ACDE est un parallélogramme et AB N BC donc : ACDE est un losange. (Un parallélogramme qui a ses diagonales perpendiculaires est un losange). − yE = 2 − 2 − yE = 0 yE = 0 5. EF   ; AD   donc : EF = AD .  2  4  2  4

−2 2. Pondichéry B c. A et C d’une part, B et D d’autre part ont leurs coordonnées opposées : ils sont donc symétriques autour de O, donc ABC D est un parallélogramme ; Les arguments de B, C et D sont respectivement − π , π et 2π , donc les 3 6 3 droites (OB) et (OC ) sont perpendiculaires, de même que (OC ) et (OD). Le parallélogramme ABC D a ses diagonales perpendiculaires : c’est un losange : Comme [AC ] et [BD] sont des diamètres le quadrilatère ABC D est un rectangle. Conclusion : ABC

soit M le milieu du segment [AC] et soit K le symétrique du point B par rapport à M. a)      Quelle semble-être la nature du quadrilatère ABCK. Démontre le. La nature est un parallélogramme Choisis un outil parmi P1,P2,P3,P4,P5 et P6 page 266. on sait que m milieu de [AC] et de [BK] Si P3 donc ABCK est un parallélogramme b)      Prouve que les droites (AK) et (CB) sont parallèles on sait que ABCK est un paréllélogramme Si P2 donc (AK)//(CB) Choisis un outil parmi P1,P2,P3,P4,P5 et P6 page

C tel que );BA ) + );BK) = );BC) outil « représentant( origine-vecteur) » ; cliquer sur B puis sur z. contrôle Quelle est la nature de ABKC ? pourquoi ? Séance TD 2nde vecteurs colinéaires 1. Enoncé : ABCD est un parallélogramme ; E et F sont les points définis par );CE)= );CD) et );AF) = );AE) a. Faire une figure b. Emettre une conjecture sur la position des points B, C et F à l’aide de votre figure et de celles de quelques camarades. c. Emettre une conjecture

mesure d'aires résulte très souvent d'un calcul, réalisé à partir d'une formule. La connaissance de l'aire du rectangle est importante car elle permet d'en déduire l'aire de nombreuses autres surfaces : triangle rectangle, triangle, losange, parallélogramme, notamment par transformation de la surface à étudier en un rectangle (ou un demi-rectangle) de même aire. Ceci concerne depuis 2008 la fin du CM2. Ainsi, après vérification des pré-requis et plus particulièrement ceux mettant en jeu l'aire du

le coefficient M et K est le même (2). De la même manière on obtient G barycentre de N : 2 et L : 2. C’est pourquoi G est le milieu de [NL]. On sait qu’un quadrilatère qui a les diagonales qui se coupent en leur milieu es un parallélogramme donc KLMN est un parallélogramme. A. -> AG= 1/2 -> AB + ¼ ->AC B. / 2) A. //MA+2MB+MC//=//AC// si on prend les longueurs MA+2MB+MC= 4MG donc l’ensemble des points E1 sont sur le cercle de diamètre AC *1/4. B. / 3) ||MA + 2MB + MC ||=||3MA

longueurs, exprime l’aire de chacune des figures ci-dessous Le carré : Formule : aire = côté x côté aire = c x c aire = c² Le rectangle : L’ 'aire d'un rectangle Formule : aire = Longueur x largeur aire = L x l Le parallélogramme : L'aire d'un parallélogramme Formule : aire = Base x hauteur aire = B x h Le losange : L'aire d'un losange Formule : aire = (Grande Diagonale x petite diagonale) : 2 aire = (D x d) : 2 7 Le triangle : L'aire d'un triangle Formule :

sens, et d’une longueur (on dit aussi une norme). Commentaire Propriétés Soient A, B, C et D quatre points du plan. On a : AB = CD si et seulement si les segments [AD] et [BC] ont le même milieu (c’est-à-dire si et seulement si ABDC est un parallélogramme, éventuellement aplati ou réduit à un point). On peut aussi remarquer que cela signifie que, s’ils ne sont pas nuls, les vecteurs AB et CD ont la même direction (puisque (AB) et (CD) sont parallèles), le même sens (on va dans le même sens de