Parallélogramme

AC et BD situés respectivement sur les droites parallèles dont les ombres ne sont pas réduites à des points. Considérons sur m, un point E tel que AE = CD . Le quadrilatère AECD est un parallélogramme car il possède deux cotés opposés égaux et parallèles(cfr cour de 2ème).Son ombre solaire est donc un parallélogramme, soit A'E'C'D'. De plus, l'ombre solaire conserve le rapport des longueurs des segments situés sur une même droite, nous pouvons donc en déduire que : C'D' / A'B' = A'E' / A'B' = AE /

direction et même norme : → → → → u = − v ⇔ u = v . −→ −→ −→ −→ Soient deux vecteurs égaux AB et CD alors AB = CD si et seulement si ABDC est un parallélogramme. B. Addition de deux vecteurs 1. Relation de Chasles −→ −→ −→ AB + BC = AC 2. Règle du parallélogramme −→ −→ −→ AB + AD = AC. [AC] est la diagonale du parallélogramme ABCD. −→ −→ Cas de deux vecteurs AB et BC de même direction −→ −→ −→ AB + BC = AC −→ −→ −→ AB + BC = AC 3. Propriétés de l'addition vectorielle

même longueur. On note [pic] Si [pic] alors ABDC est un parallélogramme Si [pic] alors [pic](C) = D , D est le translaté de C par la translation de vecteur [pic] (et réciproquement). Si [pic] alors les segments [AD] et [BC] ont le même milieu (et réciproquement). 3) Addition de vecteurs : a) Relation de CHASLES : Pour 3 points A,B et C distincts, on a [pic] Simplifier l’écriture de [pic] b) Règle du parallélogramme : pour ajouter 2 vecteurs de même origine. B

(4 points) EFGH est un parallélogramme de centre O. 1. Faire une figure. 2. Construire les points S et T tels que : et 3. Démontrer que . 4. Qu’en déduisez-vous ? Exercice 4 (4 points) Soit (O ;  ; ) un repère du plan. 1. Placer les points A(- 2 ; 1) ; B(2 ; 3) ; C(3 ; - 1) et D(7 ; 1). 2. Déterminer par le calcul les coordonnées des vecteurs et . 3. Montrer que ABDC est un parallélogramme. 4. En déduire les coordonnées du centre I, du parallélogramme ABDC. Exercice 5 (4 points)

rapport de la diagonale au côté d’un pentagone régulier est égal à 20. n On considère un parallélogramme ABCD. À l’intérieur de ce parallélogramme, on place un point P, qui se projette orthogonalement en E sur [AB], F sur [BC], G sur [CD] et H sur [AD]. On appelle R le point d’intersection de (EH) et (FG) (on suppose donc qu’il existe). Quel est le lieu de R lorsque le point P décrit l’intérieur du parallélogramme ? 21. n Sur la figure ci-contre, ABC est un triangle rectangle en A et M un point variable

d' parallèle à d. - un segment [MN] en un segment [M'N'] parallèle tel que M'N' = ½k½MN. - un cercle C de rayon R en un cercle C' de rayon ½k½R. - un triangle (isocèle, rectangle, équilatéral) en un triangle de même nature. - un quadrilatère (parallélogramme, losange, rectangle, carré) en un quadrilatère de même nature. III) Cas particuliers Certaines homothéties sont des transformations déjà connues, c'est ce qui se passe pour certaines valeurs du rapport k. Soit h une homothétie de centre O et

et et sont égaux si et seulement si : ont même direction, le même sens et la même longueur (norme). - b. La translation qui transforme A en B transforme aussi C en D; - c. Le quadrilatère ABDC, est un parallélogramme.(éventuellement aplati) ; Réciproquement, si ABDC est un parallélogramme alors 3. Milieu d‘un segment : Propriété : Soint A et B deux points distincts du plan . - Si M est le milieu de [AB], alors . - Réciproquement, si alors M est le milieu de [AB]. II. La translation

carrés de même côté : ces deux segments ont la même mesure. On en déduit la relation : IJ = KL. On a : IJ = KL ; (IJ) = (KL). Si un quadrilatère a deux de ses côtés opposés parallèles et de même longueur alors ce quadrilatère est un parallélogramme. IJKL est un parallélogramme. B Correction 6 Traçons l’intersection des deux plans (P) et (SEF ). L’intersection de deux plans est un droite. Notons (∆) cette intersection. Les plans (P) et (ABC) sont parallèles, ainsi le plan (SEF ) interceptent ces deux

droites sont parallèles, toutes droites parallèles à l’une seront parallèles à l’autre. Si deux droites sont parallèles toutes droites perpendiculaires à l’une seront perpendiculaires à l’autre. Reconnaitre un parallélogramme : Si un quadrilatère :

effet sur la particule. Cette force est appelée la résultante et elle s’obtient r comme la somme vectorielle des deux r vecteurs forces P et Q . • On peut obtenir la résultante enr utilisant r la règle du parallélogramme: en prenant P et Q comme les côtés adjacents d’un parallélogramme, la diagonale qui passe par A représente la résultante. r Q A r R r P 8 Rappel sur l’addition des vecteurs r r r R = P+Q Commutativité r Q A r P r r r r P+Q =Q+ P r P r Q