Parallélogramme

bâtiment est une église alors ce bâtiment a un clocher ». En mathématiques, la réciproque de certaines propriétés est vraie : Ex : « Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses diagonales se coupent en leur milieu » et sa réciproque « Si les diagonales d'un quadrilatère se coupent en leur milieu, alors ce quadrilatère est un parallélogramme ». I) Théorème de Thalès propriété : Soient deux droites d et d’ sécantes en un point A. Soient B et M deux points de d (distincts de A) Soient C et N

les points A, F et E sont alignés. Exercice n°2 : 4 points Soit A et B deux points distants de 11 cm. 1)      Placer les points D et C définis par :  et . 2)      Démontrer que  et  ont le même milieu. Exercice n°3 : On considère un parallélogramme EFGH. 1)      Construire les points R et S définis par  et . 2)      Déterminer les coordonnées des points R et S dans le repère . 3)      Montrer que la droite (RS) passe par le point E. Exercice n°4 : 6 points Dans le plan muni d’un repère 

2 F −1 + A O −2 B c. A et C d’une part, B et D d’autre part ont leurs coordonnées opposées : ils sont donc symétriques autour de O, donc ABC D est un parallélogramme ; Les arguments de B, C et D sont respectivement − π3 , π6 et 2π 3 , donc les droites (OB) et (OC ) sont perpendiculaires, de même que (OC ) et (OD). Le parallélogramme ABC D a ses diagonales perpendiculaires : c’est un losange : Comme [AC ] et [BD] sont des diamètres le quadrilatère ABC D est un rectangle. Conclusion : ABC D

commencé la construction de quadrilatère mais n’a pas eu le temps de terminer. Achève le travail. un losange un rectangle ▼ ▼ ➪ par tous (obligatoire) ☝seul ✌ à deux ❖ à 3 ou plus un carré un parallélogramme ▼ ▼ un trapèze ▼ FICHE 1 : EN 4 Exercice 1 Ces formes peuvent être divisées de manière égale. Il y a beaucoup de possibilités à chaque fois. Fais preuve d’imagination en cherchant des solutions différentes.

O −2+0 4+0 ; = ; =(−1 ;2 ) . Les 2 2 2 2 ) ) diagonales [AC] et [OB] ont alors le même milieu, on peut donc-on en déduire que ABCO est un parallélogramme. 3) On calcule AC= √( x C − x A)2 +( y C− y A )2=√ (1+3)2+(3−1)2= √ 16+4=√ 20=2 √ 5 et BO= √(0+2)2+(0−4)2 =√ 4+16= √ 20=2 √ 5= AC . Les diagonales du parallélogramme ABCO sont de même longueur, on peut donc en déduire que ABCO est un rectangle. On 2 2 2 2 calcule alors AB= √(−2+3) +(4−1) = √ 1+9=√ 10 et BC =√

point de [ox) et J un point de [oy), alors : * L’ensemble des points M du plan tels que OI=OJ et OM= OI+OJ, est la bissectrice [oz) de l’angle   xoy  Puisque OM= OI+OJ alors OIMJ est un parallélogramme En plus il a deux cotés consécutifs [OI] et [OJ] de même longueur donc OIMJ est un losange.

égaux : AB et DC ont même direction, même sens et même norme. ABCD est un parallélogramme, c'est à dire [ AC ] et [ BD ] ont même milieu . ( Si A, B, C et D sont alignés, on dit que ABCD est un parallélogramme aplati ) REGLES DE CALCUL Les règles de calcul sur les vecteurs de l’espace sont analogues aux règles de calcul sur les vecteurs du plan. RELATION DE CHASLES : Ex : AB + BF = AD + DI = DE + KL = REGLE DU PARALLELOGRAMME : Ex : DC + DJ = JN + JH = DC + DJ + DA = OPPOSE D’UN VECTEUR : Ex

que cette figure est un parallélogramme : - la première consiste à montrer que les diagonales ont le même milieu. Pour cela nous utiliserons des vecteurs. Le milieu du vecteur AD se calcul de la manière suivante : XAD = [(XA+XD)/2]  (-1+1)/2 = 0 YAD = [(YA+YD)/2]  (1-2)/2 = -0.5 Le milieu du vecteur AD se trouve en (0 ; -0.5) Calculons le milieu de BC : XBC = (2-2)/2 = 0 YBC = (3-4)/2 = -0.5 Le milieu du vecteur BC se trouve en (0 ; -0.5). Donc parallélogramme. - la deuxième manière

(resp B) est une condition nécessaire et suffisante pour obtenir B (resp A) . Exemples : (1) (x – 3) (x – 2) = 0 ⇔ x = 3 ou x = 2 (2) ABCD est un parallélogramme ⇔ ses diagonales se coupent en leur milieu On dit que le fait que les diagonales d’un quadrilatère se coupent en leur milieu est une condition nécessaire et suffisante pour avoir un parallélogramme. (3) M ∈ (AB) ⇔ M est aligné avec A et B. Exercices : (1) Considérons les propositions (A), (B) et (C) dans lesquelles a et b désignent deux

- son sens ( de A vers B ) - sa longueur ou sa norme (AB ou [pic]) Vecteurs égaux [pic] = [pic] signifie que les vecteurs [pic] et [pic] ont même direction, même sens et même norme, ou encore que le quadrilatère ABDC est un parallélogramme. Si A et B sont confondus, [pic] est le vecteur nul noté [pic]. Sa norme est 0. Pour tout vecteur [pic] et tout point O, il existe un unique point M tel que [pic] = [pic] 2) Addition vectorielle a) Relation de Chasles