Parallélogramme

le milieu de [. . . . . . ]. Le quadrilatère AKCI a donc ses diagonales ([. . . . . . ] et [. . . . . . ]) qui se coupent en leur milieu (. . . ). Le quadrilatère AKCI est donc un . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Or, dans un parallélogramme, les côtés opposés sont . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . et de même . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nous pouvons donc affirmer que (KC) est parallèle à (. . . . . . ) et que KC= . . . . . . . 2. a) Compléter le

25/6 BK = 8×5/6 = 45/6 CL = BC – BL = 5 – 25/6 = (30-25)/6 = 5/6 cm AK = AB – BK = 8 – 46/6 = (48-46)/6 = 2/6 cm Donc AK = 2/6 cm et CL = 5/6 cm. ABCD est un parallélogramme, donc ses diagonales se coupent en leurs milieux. OR : Si un segment est parallèle à la diagonale d'un parallélogramme, alors il sera coupé par la seconde diagonale en son milieu. Donc : I est le milieu de [KL] Exercice IV OM/OL = 1,5/3 = 1/2 OJ/OI = 2/4 = 1/2 Les quotients de OM

parallèle au troisième côté. 5. Parallélogramme. • Si un quadrilatère a ses côtés opposés parallèles, alors c’est un parallélogramme. • Si les diagonales d’un quadrilatère se coupent en leur milieu, alors c’est un parallélogramme. 6. Rectangle. • Si un quadrilatère a 4 angles droits, alors c’est un rectangle. • Si les diagonales d’un quadrilatère ont la même longueur et se coupent en leur milieu, alors c’est un rectangle. • Si un parallélogramme a un angle droit, alors c’est un rectangle

longueur. D=C AB // CD AD = BC Parallélogramme :Un parallélogramme est un quadrilatère dont les cotés opposés sont parallèles. AB // CD AD // BC Les cotés opposés sont égaux : AB = DC A AD = BC Les diagonales se coupent en leur milieu : OA = OC OB = OD O O est le centre de symétrie du parallélogramme. D C B Rectangle :Un rectangle est un parallélogramme qui a un angle droit :A= 90° Les diagonales ont même longueur : AC = BD Losange : Un losange est un parallélogramme qui a deux cotés consécutifs

Terminale S Juin 2011 Les diagonales [CG] et [DH] ont donc la même longueur ; le parallélogramme CDGH est donc un rectangle ; CQFD ! o Méthode 2 : Amérique du Nord Exercice 1 Le plan complexe est rapporté à un repère ( O ; u, v ) orthonormal direct. On considère les points A et B d’affixes respectives : a = i et b = 1 + i. On note : rA la rotation de centre A, d’angle rB la rotation de centre B, d’angle z H − zC h − c ( 3 − 3i )( −2 + 2i ) −6 + 6i + 6i + 6 3 3 − 3i 3 − 3i = = = = = =

conjecturer les coordonnées du point B. 2) Valider la conjecture par le calcul (on posera x l'abscisse de I et y son ordonnée). Exercice 4 (milieu) Soient trois points, A(-3;2), B(1;3) et C(0 ; -1). On considère le point D tel que ABDC soit un parallélogramme. 1) Soit avec géogébra, soit sur papier quadrillé, conjecturer les coordonnées de D. 2) Déterminer les coordonnées de I, le milieu de [BC]. Que représente I pour le segment [AD]? Justifier. 3) En déduire les coordonnées de D. Exercice 5*

point D tel que ABDC soit un parallélogramme. La translation qui transforme A en B est appelée la translation de vecteur AB . 3. Opérations 3.1. Addition Définition La somme de deux vecteurs est un vecteur. r Définition Dire que deux vecteurs AB et CD sont égaux signifie que la translation qui transforme A en B associe C au point D. On note AB = CD . Définition Deux vecteurs AB et CD sont égaux si, et seulement si, le quadrilatère ABDC est un parallélogramme, éventuellement applati. On note

: Soit A et B deux points du plan. La translation qui transforme A en B associe à tout point C du plan l’unique point D tels que les segments [AD] et (BC) ont le même milieu. B A D C 2. Propriété : AB = CD équivaut à ABDC est un parallélogramme, éventuellement aplati. 3. Remarque : Si AB = CD alors (AB) // (CD) AB = CD . 4. Cas particuliers Le vecteur nul, noté 0 , est le vecteur associé à la translation qui transforme A en A. On a donc : 0 = AA = BB = .. Le vecteur opposé

segments [PR] et [QS]. x +x y +y –4+2 –1+2 1 = – 1 et y1 = P R = = . xI = P R = 2 2 2 2 2 1 Le même type de calcul pour J amène xJ = – 1 et yJ = . 2 Donc I et J sont confondus. b) Les diagonales du quadrilatère PQRS ont le même milieu. C’est donc un parallélogramme. C O K B A x +x 0+7 7 = a) On sais que xJ = O B = 2 2 2 yO + yB 0 + (– 4) yJ = = = – 2. 2 2 7 Donc J ; – 2 . 2 x +x –3+5 =1 b) On sait que xK = A C = 2 2 yA + yC (– 4) + 2 yK = = – 1. = 2 2 Donc K(1 ; – 1). a) C O xA + xB 0,5 + 2 = = 1,25

deux angles égale à 90° | | | |Un côté est un diamètre du cercle circonscrit | II Quadrilatères |Parallélogramme |Côtés opposés parallèles |Un centre de symétrie | | | |Côtés opposés égaux