On Considère La Fonction F Définie Par Tout Réel X F X X²e X 1 X² 2

______________________ 1. Soit A. B. C. D. la fonction carré définie sur ℝ par -2 admet 4 comme unique antécédent. 4 admet – 2 comme unique antécédent. -2 admet 4 comme antécédent. 4 admet – 2 comme antécédent. et Cf sa courbe représentative dans un 2. Soit la fonction définie sur ℝ par repère. A. Cf passe par l’origine du repère. B. Le point A(-4 ; -8) appartient à Cf. C. Le point B(-4 ; 8) appartient à Cf. D. Le point C(-4 ; -6) appartient à Cf. 3. Fonctions de référence : A. La fonction définie sur R par

Cours : « Dénombrement » Avril 12 I / 1/Notation factorielle  Définition  Soit[pic], on note par n ! et on lit factorielle n l’entier strictement positif . [pic]. Ex : [pic] ;[pic] ; [pic]  etc… On convient de noter[pic]. [pic], [pic] [pic] [pic] [pic]. 2/Notation [pic] : Définition  Soit [pic] et [pic] ; 1[pic], on pose par définition : [pic][pic] p facteurs . [pic] et [pic] .

ÉLÉMENTS DE TRAITEMENT DU SIGNAL G. BAUDOIN et J.-F. B ERCHER École Supérieure d’Ingénieurs en Électrotechnique et Électronique Septembre 1998 – version 0.89 C HAPITRE I Table des matières I Table des matières I Transformée de Fourier et tutti quanti 1 Premières définitions autour de la transformée de Fourier . . . . . . . . . . 2 Principales propriétés de la transformée de F OURIER . . . . . . . . . . . . 3 Impulsion de D IRAC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1

la fonction f : x ! y ' = − y2 . La fonction f : x ! 2 1 = −   = − [ f ( x)] . 2 x  x f est donc bien une solution particulière de l’équation différentielle y ' = − y 2 . 1 est une solution particulière de l’équation différentielle : x 1 2 1 est dérivable sur R* et ∀x∈R* x f '( x) = − I Sauriez-vous trouver une solution particulière (non forcément dérivable sur R) de l’équation 1 ? y' = 2y 1 1 . La fonction f : x ! x est dérivable sur ]0 ; +∞[ et ∀x∈ ]0; + ∞ [ f '( x) = =

Master 2 Recherche « PHYSIQUE POUR L’INSTRUMENTATION » OPTION RMN « TRAITEMENT DU SIGNAL EN RMN » Emmanuel Barbier INSERM U594 – Neuroimagerie Fonctionnelle et Métabolique CHU Pav B. – BP 217 38043 Grenoble cedex 9 Tél. 04 76 76 59 63 Mél. Emmanuel.Barbier@ujf-grenoble.fr Lors de la réalisation de ce cours, je me suis fortement appuyé sur : - Le cours de traitement du signal réalisé par Anne Ziegler, Inserm U438, Grenoble, 2001. - « Principles of Magnetic Resonance Imaging, a signal processing

EXERCICE 3 (6 points ) (Commun à tous les candidats) On considère les deux courbes (C1 ) et (C2 ) d’équations respectives y = ex et y = −x2 − 1 dans un repère orthogonal du plan. Le but de cet exercice est de prouver qu’il existe une unique tangente T commune à ces deux courbes. 1. Sur le graphique représenté dans l’annexe 1, tracer approximativement une telle tangente à l’aide d’une règle. Lire graphiquement l’abscisse du point de contact de cette tangente avec la courbe (C1 ) et l’abscisse du point

cartésienne, partie réelle, partie imaginaire . . . . . 3.1.2 Plan complexe. Affixe d’un point, d’un vecteur . . . . . . . . 3.1.3 Conjugué d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.4 Notion de transformations du plan complexe . . . . . . . . . Module et distance dans le plan complexe . . . . . . . . . . 3.2.1 Module d’un nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Distance dans le plan complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Nombres complexes de module 1 . . . . . .

Exercice 1. Étude de fonctions (6 points) Commun à tous les candidats → → − − Soit f une fonction définie et dérivable sur R. On note C sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère O, ı ,  . Partie A Sur les graphiques ci-dessous, on a représenté la courbe C et trois autres courbes C1 , C2 , C3 avec la tangente en leur point d’abscisse 0. C − →  O d2 − →  d1 − →  O − → ı C3 − → ı C2 − O → ı d3 − →  O − → ı C1 1. Donner par lecture graphique, le signe de f (x) selon les

polynômes de Legendre, fonctions de Legendre et harmoniques sphériques étudiés dans ce problème ont des applications à la détermination des équilibres de température et des distributions de charges électriques, ainsi qu’à la mécanique quantique. Les fonctions considérées sont à valeurs dans R. On identifie une fonction polynomiale avec le polynôme associé. Première partie Pour tout n ∈ N, on considère la fonction polynomiale Pn , définie par Pn (x) = 1 dn (x2 − 1)n 2n n! dxn pour x ∈ R. Il résulte

Exo7 Fonctions dérivables 1 Calculs Exercice 1 Déterminer a, b ∈ R de manière à ce que la fonction f définie sur R+ par : √ f (x) = x si 0 x 1 et f (x) = ax2 + bx + 1 soit dérivable sur R∗ . + Indication Exercice 2 1 Soit f : R∗ −→ R définie par f (x) = x2 sin . Montrer que f est prolongeable par continuité en 0 ; on note encore f la fonction x prolongée. Montrer que f est dérivable sur R mais que f n’est pas continue en 0. Indication Correction Vidéo [000700] Exercice 3 Étudier la dérivabilité