Normal distribution

probabilité ‫.59,0 = ݌ − 1 = ݍ‬ Donc ࢄ suit la loi binomiale de paramètres ࢔ = ૝૙ et ࢖ = ૙, ૙૞. ଶ 2°) ܲሺܺ = 2ሻ = ‫ܥ‬ସ଴ × 0, 05ଶ × 0,95ଷ଼ ≈ ૙, ૛ૠૠૠ ଴ 3°) ܲሺܺ ≥ 1ሻ = 1 − ܲሺܺ = 0ሻ = 1 − ‫ܥ‬ସ଴ × 0, 05଴ × 0,95ସ଴ ≈ ૙, ૡૠ૚૞ C. Loi Normale 1°) Soit ܶ = ௒ିଵଶ଴ , ܶ suit la loi normale centrée réduite ܰሺ0 ; 1ሻ. ܻ − 120 104 − 120 ܲሺܻ ≥ 104ሻ = ܲ ൬ ≥ ൰ = ܲሺܶ ≥ −2ሻ = 1 − Πሺ−2ሻ = 1 − ൫1 − Πሺ2ሻ൯ 8 8 = Πሺ2ሻ = ૙, ૢૠૠ૛ On a utilisé les formules : ܲሺܶ ≥ ܽሻ = 1 − Πሺܽሻ et Πሺ−ܽሻ = 1 − Πሺܽሻ ଼ 2°) Calculons

818. p(M) 0,165 Partie B Un produit de nettoyage conditionné dans des flacons est aussi vendu par le magasin. Le volume de produit contenu dans un flacon, en millilitres (mL), est modélisé par une variable aléatoire V . On admet que V suit une loi normale d’espérance 250 et d’écart type 5. Pour procéder à un contrôle, on prélève un flacon au hasard dans le stock du magasin. 1. Donnons la probabilité que le volume de produit contenu dans le flacon prélevé soit compris entre 240mL et 260mL. p (240 V

Caractéristiques numériques des variables aléatoires 1- Espérance 2- Variance, covariance 3- Exercices V- Variables aléatoires usuelles 1- Loi de Bernoulli (p) 2- Loi binomiale (n, p) 3- Loi uniforme 4- Loi exponentielle 5- Loi de Poisson (λ) 6- Loi normale (µ, σ) 7- Exercices VI- Somme d'un grand nombre de variables aléatoires indépendantes 1- L'inégalité de Tchebychev 2- Loi des grands nombres 3- Théorème central-limite 4- Exercices VII- Echantillonnage 1- Description des données statistiques sur un

obtient que P(64  X  104) = P(X  104) P(64  X) = (1 0, 16) 0, 16 = 0, 68. (b) D’après le cours on sait que si X suit une loi normale N (µ, s 2 ), alors P(µ s  X  µ + s ) = 0, 68. Dans notre exemple on sait que µ = 84 on peut donc proposer 20 comme valeur de s d’après la question précédente. X 84 X µ 2. (a) On a Z = = , donc d’après le cours Z suit un loi normal N (0; 1) s s ✓ ◆ ✓ ◆ X 84 20 20 (b) P(X  64) = P(X 84  20) = P  =P Z s s s ✓ ◆ 20 20 (c) On sait que P(X  64) = 0, 16 = P Z

rejette l’hypothèse nulle. d) β = P (7.65 ≤ ͞x ≤ 8.35 │H1 : µ = 7.8) À l’aide de la transformation centre réduite on a : β = P (7.65 – 7.8 ≤ Z ≤ 8.35 – 7.8) 1.5/√70 1.5/√70 β = P(-0.84 ≤ Z ≤ 4.74) Si on utilise la table de la loi normale centrée réduite, on trouve P(0 ≤ Z ≤ -0.84) = 0.5 β = P(-0.84 ≤ Z ≤ 4.74) = P(0 ≤ Z ≤ 4.74) - P(0 ≤ Z ≤ -0.84)=0.5-0.2995=0.2005 Le risque d’accepter à tort l’hypothèse nulle µ = 8 alors que la vrai moyenne est 7.8 est seulement de 2 chances

c) mode 3 : x 1.414 x  Vitesses initiales nulles   θ 2 initial = − 2 θ3 initial    θ1 initial = θ3 initial x x -1.414 x Il est également intéressant de rappeler une autre définition équivalente des modes propres (parfois appelés modes normaux): ce sont les modes d'oscillation qui correspondent à des fréquences telles que chacun des éléments du système oscille à la même fréquence et avec des amplitudes qui sont, pour chacun d'eux, indépendantes du temps. En dehors des fréquences des modes

des studios clermontois. Proposer une estimation de l’écart-type de la surface des studios clermontois 1 5) 6) 7) Pour déterminer un intervalle de confiance de la surface moyenne des studios, on suppose que la variable « surface » suit une loi normale dans la population. Cette condition est-elle nécessaire pour établir l’intervalle de confiance ? Etablir l’intervalle de confiance à 95% de la surface moyenne. Utiliser un test statistique pour répondre à la question : la surface moyenne des studios

stagiaire dans l’entreprise Thème : Remplacement d’une distribution de Citroën C3 1.4l Essence. Les services et personnes de l’entreprise concernés : J’ai réalisé cette intervention presque totalement en autonomie (Mon tuteur à en effet quand même contrôlé la bonne mise en place de la courroie et sa tension). Présentation de l’activité : Le client de l’automobile en question vient au garage afin de faire remplacer sa courroie de distribution : c’est donc une opération de simple entretien pour

moyenne globale par élément: ISITV / SIM incertitude de mesure - E Arnaudo 19 Loi normale Mf Sf +/- 2 Sf = 95% de la population ISITV / SIM incertitude de mesure - E Arnaudo 20 10 Exploitation des résultats sur le Fe Histogram m e 3,5 3 2,5 Nombre Histogram m e 3,5 3 2,5 Nombre 2 1,5 1 ,5 0 68 68,5 69 69,5 2 1,5 1 ,5 0 69 70 71 72 73 labo 13 / Fe ech 2 74 75 76 Moyenne M13 La loi normale est vérifiée pour tous les Mx Moyenne M9 Histogramme 70 70,5 71 71,5 labo

la courbe correspondante à la loi log normal : La moyenne : =6,5039 . L’écart type : SZ= 0,3020mm.   Z(F)= +u(F)*SZ Z(F)=6,5039 X(F)= exp(Z(F))=  La courbe correspondante à la loi log normale est : Le graphe suivant permet de choisir en premier lieu la loi qui s’ajuste mieux à notre échantillon :  Conclusion : D’après le graphe ci-dessus on constate que la loi log normal s’ajuste mieux à notre échantillon car la loi normale s’écarte des valeurs extremes de l’échantillon