Normal distribution

Matrices 2012 - 2013 1/9 Sommaire 1 Matrice 2 Opérations sur les matrices Matrices 2012 - 2013 3/9 Matrice Définition Une matrice à n lignes et p colonnes est un tableau d'éléments de R comportant n lignes et p colonnes. Elle s'écrit :    a1,1 ··· a1,n    . . . .. . . . . ou ai,j am,1 ··· am,n 1≤i≤n 1≤j≤p ou (ai,j ) où aij ∈ R est l'élément de la matrice situé sur la ligne i et la colonne j. Les scalaires ai,j sont

exponentielle translatée avec différentes valeurs de b On remarque que celle qui se rapproche le plus de notre histogramme est la bleue qui a pour paramètres a = -2,5 et b = 0,27. 3-Loi normale  d’espérance m et de variance sigma^2 : On utilise la fonction dnorm qui calcule la densité de la loi normale en faisant varier Sigma et m : |curve(dnorm(x,50,0.5),col="blue",xlim=c(-100,100)) | |curve(dnorm(x,0,5),col="red"

constituent autant de variables aléatoires indépendantes, on peut poser que la durée globale de réalisation du projet suit une loi normale dont l’espérance mathématique (respectivement la variance) est la somme des espérances mathématiques (respectivement des variances) des tâches du chemin critique ». La durée du projet peut donc être considérée comme une variable aléatoire normale dont l’espérance mathématique et l’écart type se calculent à partir des données relatives aux durées des tâches formant le

probabilité de (1-q) Soit, pour une position de valeur de marché Vt : ~ ~ P ∆Vt > VaRq = 1 − q ou P ∆Vt ≤ VaRq = q Si les variations de valeur de la position suivent une loi normale : ~ ~  ∆Vt − π VaRq − E ∆Vt  P =q ~ ≤ ~ σ ∆Vt σ ∆Vt     [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) ~ ~ VaRq ∆Vt − E ∆Vt Le quantile de la loi normale centrée réduite est noté zq, soit ici : = zq ~ σ ∆Vt ~ ~ ~ La Value at Risk peut donc s'écrire : VaRq ∆Vt = E ∆Vt + z q × σ ∆Vt ( ) ( ) ( ) [2] ( ) ( ) ( )

Exercice 2 (5 points) : On d´sire savoir si, chez les individus qui consomment e r´guli`rement de l’huile d’olive, le risque cardio-vasculaire est diminu´. On utilise pour e e e cela un indice (calcul´ a partir du dosage en d-dim`res), qui suit une loi normale. e ` e Plus cet indice est faible, moins le patient pr´sente de risque cardio-vasculaire. Sur un e ´chantillon de 7 individus consommant de l’huile d’arachide, on a observ´ une moyenne e e 1 de x7 = −0.67, avec une variance empirique de s2 = 7 7 (xi

Travaux dirigés « Vibrations » Exercice: Soit une a tige AB de longueur 2L = 1 m dont la section a une surface S = 4.10-4 m2 et une inertie quadratique autour de z notée I = 1.34 10-8 m4. Le module d’Young du matériau de la tige est E = 210 GPa et ρ = 7800 Kg/m3 est sa masse v volumique. On s’intéresse aux mouvements de vibration de flexion de cette tige encastrée en A et libre en B. (a) Donner l’expression explicite du mode propre fondamental de la tige encastréelibre. (b) Donner la valeur exacte

n'est pas défectueux" (échec) de probabilité = 1 − = 0,95. Donc suit la loi binomiale de paramètres = et = , . 2°) 3°) =2 = ≥1 =1− = × 0, 05 × 0,95 =0 =1− ≈ , × 0, 05 × 0,95 ≈ , B. Loi binomiale C. Loi Normale 1°) Soit , ≥ 104 = =Π 2 = , On a utilisé les formules : suit la loi normale centrée réduite 0 ; 1 . − 120 104 − 120 ≥ = ≥ −2 = 1 − Π −2 = 1 − 1 − Π 2 8 8 ≥ =1−Π et Π − =1−Π 2°) Calculons d'abord la probabilité que la masse soit dans l'intervalle 104 ; 136 : 104 − 120 − 120 136

de probabilités simples, probabilités conditionnelles, événements indépendants)  Variables  aléatoires  à  valeurs  réelles  (loi  de  probabilité,  fonction  de  répartition,  espérance  mathématique,  variance,  écart  type,  loi  binomiale,  loi  normale,  approximation, somme de variables aléatoires)  270 heures    Unité U3    ECONOMIE – DROIT     Coefficient 2  o Economie Générale  a/  les acteurs de la vie économique et sociale et leurs comportements  ‐  prix et revenus  ‐  la monnaie et le financement de l’économie 

extrait de la base de sondage, en utilisant une base de tirage TAILLE DE L'ECHANTILLON: n = taille de l'échantillon attendu.t = niveau de confiance déduit du taux de confiance (traditionnellement 1,96 pour un taux de confiance de 95%) - loi normale centrée réduite.p = proportion estimative de la population présentant la caractéristique étudiée dans l'étude. Lorsque cette proportion est ignorée, une pré-étude peut être réalisée ou sinon p = 0,5 sera retenue.e = marge d'erreur (traditionnellement

précisera les paramètres. b) Calculer l'espérance mathématique et l'écart-type de la variable X. 60 c) Calculer la probabilité de l'événement : X = 60 . On prendra C100 ≈ 1,3746 × 10 28 . 2) On approche la variable X par une variable Y suivant une loi normale n ( m , σ ). On précisera la valeur et la signification des paramètres m et σ de Y. 3) Pour la suite de cet exercice, on prendra m = 61 et σ = 4,9. a) On souhaite calculer une valeur approchée de P(X=60), en utilisant la variable aléatoire Y. Pour