Normal distribution

Exercice 7 : la loi log-normale : C’est une autre loi de fiabilité pour décrire principalement des phénomènes de fatigue. Le calcul se fait en passant par la variable centrée réduiteoù « m » est la moyenne des ln(t) et σ l’écart type des ln(t). On utilise ensuite les tables de la loi normale en utilisant le paramètre « u ». La durée de vie des bielles d’une voiture sui une loi log-normale de paramètres m=5 et σ=1,4. Calculer la fiabilité pour T=300 heures

Matrices Issam Elhattab École Nationale de Commerce et de Gestion - Casablanca Université Hassan II - Mohammedia 2013 - 2014 I. Elhattab (ENCG) Matrices 2013 - 2014 1 / 12 Sommaire 1 Définition et notations 2 Opérations sur les matrices 3 Déterminant d’une matrice 4 Calcul de l’inverse d’une matrice 5 Résoulution d’un système d’équations linéaires : Pivot de Gauss I. Elhattab (ENCG) Matrices 2013 - 2014 2 / 12 Définition et notations

aléatoire Y définie comme la somme de variables suivants respectivement des lois de Poisson indépendantes , de paramètres , suit aussi une loi de Poisson de paramètre Si  > 20, on peut faire une approximation de la loi de Poisson par une loi normale de paramètres . Approximation d'une loi binomiale par une loi de Poisson : Soit X une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètres n et p : Si n est grand et p voisin de 0, alors la loi binomiale peut être approchée par une loi

A et B et x T N M xA T ; xB T ; 1 Q T B AB AB sont les transformées de la distance au défaut des B est le coefficient de corrélation de la copule gaussienne. M(a ; b ; ) est la fonction de 1 répartition d’une loi normale bivariée indiquant la probabilité pour que la première variable soit inférieure ou égale à a et que la seconde soit inférieure à b, lorsque la corrélation entre ces variables est égale à . On a donc, AB T M xA T ; xB T ; QA T Généralement

en « 3ème forme normale» La première Forme Normale (1FN) Règle : une relation est en 1FN quand chacun des attributs (autre que la clé) dépend fonctionnellement de la clé Exemple (ou contre-exemple) : soit la relation suivante : CLIENT(Num cli, nom cli,adresse cli, tel cli) Sachant qu’un client peut posséder plusieurs n° de téléphonela relation CLIENT est-elle en 1ère forme normale ? Dans la négative, proposer une solution conforme à la 1FN. La deuxième Forme Normale 2FN Règle : une relation

DW test = 1,85 il est dans la zone d’absence d’auto corrélation des erreurs d’ordre 1 Problème de normalité jarque bera loin de 5, skewness loin de 1 et le kurtosis <3 jarque-bera Probabilité= 0, 6274 > 0,05 les erreurs ne suivent pas la loi normale On doit augmenter la taille de l’échantillon. Problème d’hétéro scédasticité (test de white) Heteroskedasticity Test: White F-statistic 0.826427     Prob. F(8,5) 0.6149 Obs*R-squared 7.971451     Prob. Chi-Square(8) 0.4363 Scaled explained

(D ∩ A) et P (D ∩ B). 3. En remarquant que D = (D ∩ A) ∪ (D ∩ B) et que les événements D ∩ A et D ∩ B sont ¯ incompatibles, calculer P (D) et P (D). C. Loi normale Soit X la variable aléatoire qui, à chaque chaudière à cheminée prélevée au hasard dans la production, associe sa durée de fonctionnement en années. On admet que X suit la loi normale de moyenne 15 et d’écart-type 3. Une chaudière est dite « amortie » si sa durée de fonctionnement est supérieure ou égale à 10 ans. Calculer la probabilité

Lois normales et autres lois dérivées 1 - Lois normales a) - Définition et , notée N ( ; ), On dit qu'une variable aléatoire réelle X suit la loi normale (ou gaussienne) de paramètres 1 t– si elle admet pour densité la fonction f définie sur IR par f(t) = Si = 0 et – 1 e 2 2 2 . = 1, on dit que X suit la loi normale centrée, réduite. Remarque Les lois normales interviennent très souvent et en particulier lorsque le phénomène étudié est la résultante de nombreuses composantes aléatoires (commerce

1) n 2 Mémento de statistique Table 2 : Variables aléatoires réelles continues Nom et Symbole Densité f X (x ) Support Espérance Variance Fonction caractéristique Loi uniforme U [a, b ] [a, b] [a, b] ⊂ " 1 1 [ a ,b ] ( x ) b−a Loi normale ou de Gauss N (m,σ 2 ) 1 " m ∈ ", σ ∈ "+* Loi gamma G (α , λ ) σ 2π Loi exponentielle exp(λ ) = G (1, λ ) λe "+ λ ∈ "+* n 1 Loi du chi-deux χ n2 = G ,  "+ ème imt − σ 2t 2 2 e x 2 n −1 x2 α α λ λ2 1 1 1 λ λ 1− n 2n 

constante sur un intervalle [a ;b] 4. Loi normale centrée réduite Si la fonction densité de probabilité est une fonction de gauss avec et alors, il s’agit d’une loi normale centrée réduite telle que Rappel : une probabilité précise est impossible ! 5. Loi normale Si la fonction densité de probabilité est une fonction de gauss avec une espérance et un écart type quelconque alors, il s’agit d’une loi normale telle que 6. Inversion de la loi normale Pour connaitre la borne a telle que où