Normal distribution

− e−λx si x > 0 F (x) =  0 si sinon De plus on a E(X) = 1 λ et V ar(X) = 1 λ2 3.7. Loi normal La loi normal ou la loi de Laplace-Gauss est la plus c´l`bre des lois de probabilit´s. On ee e d´bute par le r´sultat de base de ce paragraphe commun´ment appell´ l’int´grale de Gauss e e e e e +∞ −∞ e− 2 dt = t2 √ 2π D´fintion: e Soit m ∈ R et σ 2 > 0. On dit que X suit une loi normale de param`tre m et σ 2 si sa densit´ de e e probabilit´ f est d´finie sur R par e e (x−m)2 1 f

exercice, les résultats seront donnés à 10−3 près. 5 points 1. Une étude interne à une grande banque a montré qu’on peut estimer que l’âge moyen d’un client demandant un crédit immobilier est une variable aléatoire, notée X , qui suit la loi normale de moyenne 40, 5 et d’écart type 12. a. Calculer la probabilité que le client demandeur d’un prêt soit d’un âge compris entre 30 et 35 ans. b. Calculer la probabilité que le client n’ait pas demandé un prêt immobilier avant 55 ans. 2. Dans un slogan

ce Y ∼ B(90, 1/6). Le nombre moyen de 4 est donc E[Y ] = 15 et l’écart-type vaut σ(Y ) = 12.5. La loi de Y est illustrée figure 2.6 à droite. Le Théorème Central Limite explique pourquoi on obtient une forme de courbe “en cloche” typique de la loi normale (cf. fin de Chapitre 3). 2.5.4 Loi géométrique La loi géométrique est la loi typique du temps d’attente avant apparition d’un certain événement. Définition 2.13 (Loi géométrique) On dit que X suit une loi géométrique de paramètre p ∈]0, 1[

fluctuation asymptotique. Théorème – Intervalle de fluctuation asymptotique Soit une variable aléatoire suivant la loi binomiale Pour tout réel et . on a : est l’unique nombre strictement positif tel que lorsque suit la loi normale Définition - Intervalle de fluctuation asymptotique L’intervalle au seuil est appelé intervalle de fluctuation asymptotique de la variable aléatoire fréquence qui à tout échantillon de taille associe la fréquence obtenue . Exemple

 Loi binomiale Repartition Dénsité Loi normale densité Repartition Khi 2 Ces données ayant été réparties en classes, il faut : calculer algébriquement la distance entre les données observées et les données théoriques attendues. se donner a priori un risque d'erreur, celle consistant à rejeter l'hypothèse, alors qu'elle est vraie (la valeur 5 % est souvent choisie par défaut ; il s'agit plus souvent d'une coutume que du résultat d'une réflexion) ; déterminer

52 cm. - la moyenne arithmétique des tailles est égale à 50,12 cm. - la variance est égale à 14,91 cm². 3. Représentation croisée par exemple [pic] Exercice 4 a) vrai, car cela signifie que la loi n'est pas très éloignée d'une loi normale et donc la moyenne (qui dans ce cas est égale à la médiane) est un bon indicateur de tendance centrale. b) faux, la variance est nulle si toutes les valeurs sont égales. c) vrai. Exercice 5 [pic] [pic] [pic] [pic] [pic]

probabilité que les huit entreprises emploient aucun salarié est 0,328. 3° ≥7 = =7 + =8 = × 0,87 × 0,13 + × 0,87 × 0,13 ≈ 0,721 La probabilité qu'au moins sept entreprises n'emploient aucun salarié est 0,721. B. Loi normale 1° Réponse C : 0,86 Justification (non demandée) : suit la loi normale de moyenne 874 et d'écart type 10,5. Soit la variable aléatoire définie par : ≤ 890,5 = 859,5 − 874 ≤ 10,5 = , =1− = 0,87 = 0,13 ; suit 29 11 −Π − ≈ Π 1,57 − Π −1,38 = Π 1,57 − 1 − Π 1,38 21 7

probabilité suivie en toute rigueur par X ? Préciser ses paramètres. 2) On approche la loi de probabilité X par une loi de Poisson. Préciser le paramètre de cette loi de Poisson. Donner la probabilité de l’événement X ( 2. Sachant que X suit la loi normale N(100,0,4), calculer les probabilités suivantes : p1 = p(X ( 101,2), p2 = p(X > 101,2), p3 = p(99,6 ( X ( 100,4). Quand on jette un dé 12000 fois, quelle est la probabilité d’obtenir plus de 2500 fois le 6 ? d’obtenir entre 1950 et 2050 fois

trouve e yk = 2907 ha k∈S et k∈S 2 yk = 154593 ha2 . 1. Donnez la valeur de l’estimateur sans biais classique de la moyenne de la population. 2. Donnez un intervalle de confiance ` 95% pour la moyenne. On rappelle que a le quantile d’une loi normale ` 95% est ´gal ` 1, 96. a e a Exercice II.5. Probabilit´ d’inclusion e Soit la population {1, 2, 3} et le plan de sondage suivant : 1 1 1 P[{1, 2}] = P[{1, 3}] = P[{2, 3}] = . 2 4 4 1. Est-ce un sondage al´atoire simple ? e 2. Calculez π1 , π2 et

1945. Le réseau autrichien est en grande partie électrifié. Il le fut sur certaines lignes dès 1912, mais n'a été réalisé sur la majorité des grandes lignes que dans les années 1950. La dernière locomotive à vapeur en service régulier, sur voie normale, a été déclassée en 1978. Plusieurs lignes à voie étroite sont exploitées par les ÖBB, la plus célèbre étant celle du MariazellBahn. Elle possède 5 700 km de voie ferrée dont 57% est électrifié. La SNCB ou Société nationale des chemins de fer