Normal distribution

avec α=0,05. H0: Les 3 échantillons suivent une loi Normale H1: Un des 3 échantillons ne suivent pas une loi Normale Fertilisant 1: > shapiro.test(fertilisant1)$p.value [1] 0.8401389 On a pval>α: on ne peut pas rejeter H0 au seuil de 5%: on considère qu'il est normal. Fertilisant 2: > shapiro.test(fertilisant2)$p.value [1] 0.05573482 On a pval>α: on ne peut pas rejeter H0 au seuil de 5%: on considère qu'il est normal. Fertilisant 3: > shapiro.test(fertilisant3)$p

bois, on effectue une étude afin d'améliorer la rentabilité. La fabrication d'une table nécessite 12 planches. La probabilité qu'une planche présente un nœud dans le bois, ce qui la fragilise est de 0,04. 2 Une table est mise en vente au tarif normal si elle possède au plus une planche fragile. Elle n'est pas mise en vente, si elle possède strictement plus de 3 planches fragiles. Elle est vendue en promotion dans les autres cas. On appelle X la variable aléatoire égale au nombre de planches fragiles

en quatre cadrans en lien avec le sens du mouvement des ondes P. A chaque type de faille, correspond ainsi un diagramme de mécanisme au foyer. a) les failles normales Elles sont appelées ainsi parce que la déformation entraîne un étirement des roches initiales. Elles résultent de mouvements d'écartement (divergence). faille normale (vue en coupe) et le diagramme de mécanisme au foyer correspondant Les flèches indiquent les blocs qui montent et qui descendent b) les failles inverses Elles

15 I- Loi normale :....................................................................................................................................15 1- Définition :...................................................................................................................................15 2- Loi normale centrée réelle : .........................................................................................................15 3- Fonction de répartition d’une variable normale continue

loi binômiale B ( 64;0,5) . 2) a) On a : m = n × p = 64 × 0,5 = 32 et σ = npq = 64 × 0,5 × 0,5 = 4  Y − 32 36,5 − 32  b) p (Y ≤ 36,5) = p  ≤  = p (T ≤ 1,12 ) 4  4  p (Y ≤ 36,5) = 0,869 . où T suit la loi normale N ( 0;1) . Par lecture dans le tableau des valeurs de la loi normale centrée réduite : Π (1,12 ) = 0,8686 . Donc : Troisième partie 10 1) p ( X ' = 10 ) = C100 × 0,110 × 0,990 = 0,132 . 2) a) λ = n × p = 100 × 0,1 = 10 . b) p (Y ' ≥ 2 ) = 1 − ( p (Y ' = 0 ) + p (Y ' = 1)

N −1 n=0 ∑ f [n]e − 2πjnk / N 1 N −1 ∑ F[k ]e 2πjnk / N N k =0 f [n] = TFD −1 {F[k ]} = ∞ Transformée en z (TZ) F(z ) = TZ{f [n]} = n = −∞ ∑ f [n]z − n Notations : suites et fonctions usuelles En analogique : δ(t) désigne la distribution de Dirac. U(t) = échelon de Heaviside = 1 pour t≥0, 0 sinon. En numérique : δ[n] = 1 si n=0, =0 sinon. U[n] = 1 pour n≥0, 0 sinon. Valeur moyenne d’une v.a. X : η X = E{X} . Variance d’une v.a. X : σ 2 = E (X − η X )2 = E{X 2 }− η 2 X X Une variable

Introduction aux outils d’analyse quantitative. Chapitre I : Les matrices. Exemple d’introduction : Un étudiant veut aller manger. Il mangera soit au restaurant soit chez lui. Il veut savoir lequel des deux est le plus avantageux. On note x le prix du restaurant et y le prix à la maison. Dans la première semaine, il va 4 fois au restaurant et une fois chez lui donc nous avons : 4x + y = 51 Dans la seconde semaine, il va deux fois au restaurant et trois fois chez lui, nous avons :

Avec une probabilité supérieure ou égale à 0,85, les cadeaux « grands gagnants » en stock suffiront pour récompenser les « grands gagnants » s’ils sont au nombre de 7 pour un jour donné. 0,5 1 3. 1 Partie C : loi normale Y − 40 . La variable aléatoire T suit la loi normale n(0 ; 1). 6 Après avoir centré et réduit, on obtient : P(− 1 ≤ T ≤ 1) = 2Π (1) − 1 ≈ 2 × 0,8413 − 1 ≈ 0,68 . T= Remarque : certains candidats peuvent connaître le résultat (l’intervalle est centré sur la moyenne et son amplitude

: P(X=x) = q(x-1)p E(X) = 1/p Var(X) = q/p2 X≅G(p) - x Loi de Poisson : P(X=x) = (e λ )/x ! λ : quantité moyenne du phénomène E(X) = λ Var(X) = λ X≅Po(λ) T=∑Xi≅Po(nλ) Lois continues : Lois normales : ϕ(x) = (1/(2π)1/2)*exp(-x2/2) E(X) = ∫xϕ(x)dx = 0 de -∝ à x Var(X) = ∫x2ϕ(x)dx = 1 de -∝ à x X≅N(0,1) loi normale centrée réduite P(X ≤ x) = φ(x) voir dans les tables P(X ≤ 0.5) = 0.6915 Y = σX + µ E(Y) = µ Var(Y) = σ2 Y≅N(µ,σ2) 1/2 Ex) Y≅N(5,4) P(Y ≤ 6) = P((Y-5)/4 ≤ (6-5)/ 41/2 ) = P(Y* ≤ 0.5) = 0.6915

Exercice 2 A. Loi normale 1. Calcul de P (9,5 ≤ X ≤ 10,5) La variable aléatoire Xsuit la loi normale N ( 10 ; 0,21 ), la variable aléatoire T = X − 10 0,21 centrée réduite . Si X=9,5 alors T = 9, 5 − 10 =− 0,5 suit la loi normale 0,21 Si X=10,5 alors T = 10, 5 − 10 0,21 0,21 ≃ −2,38. = 0,5 0,21 ≃ 2,38. P (9, 5 ≤ X ≤ 10, 5) =P(−2,38≤T ≤2,38)