Matrice orthogonale

noyau . . . . . . . . . . . 8 12.4. Projecteur . . . . . . . . . . . . . . 8 12.5. Théorème du rang . . . . . . . . . 12.6. Système linéaire . . . . . . . . . . . 8 9 9 13. Matrices 13.1. Généralités . . . . . . . . . . . . . . 13.2. Généralités sur les matrices carrées 9 13.3. Matrice d’une application linéaire . 9 13.4. Matrice de Passage . . . . . . . . . 9 13.5. Changements de base . . . . . . . . 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

fondamentales entre ces deux techniques et il importe donc de les traiter séparément. La première raison qui explique pourquoi il existe tant de confusion entre l’ACP et l’AF est sans doute le fait que ces techniques s’intéressent toutes deux à l’analyse de matrices de corrélation. Aussi, nous verrons que les deux techniques produisent des résultats qui se présentent sous des formes très similaires. Enfin, les deux techniques sont souvent offertes à l’intérieur des logiciels comme SPSS et SAS. À vrai d ire,

comprise entre 0 et 1).          On utilisera des notations matricielles:          W = [wi,j] = matrice d'ordre I * J des poids des connexions i -> j reliant les cellules de la rétine aux cellules de sortie.          X = [xi,k] = matrice d'ordre I * K des K stimuli, xk correspondant à la colonne numéro k de X. Les vecteurs sont supposés normalisés:          ||xk|| = 1          A = [aj,k] = matrice d'ordre J * K des activations des J cellules de sortie pour les K stimuli. L'activation de l'ensemble

y) + q(y + z) + q(z + x) − q(x) − q(y) − q(z). −→ − 1 Exercice 4: Soit q ∈ Q(Rn ) de forme polaire ϕ. Montrer que ∀x, y ∈ Rn , ϕ(x, y) = 2 < gradq(x), y > où < ., . > désigne le produit scalaire usuel sur Rn . Exercice 5: Donner dans chaque cas la matrice, la forme polaire associée, la décomposition en carrés, le rang, la dégénérescence, la signature et la positivité des formes quadratiques suivantes : 1) q(x, y) = 2x2 − 4xy + 5y 2 2) q(x, y, z, t) = xy + yz + zt + tx 3) q(x, y, z) = x2 − 2y 2 + xz

= c ¡ ©1 Xt¡1 ¡ ©2 Xt¡2 ¡ ::: ¡ ©p Xt¡p + "t ou de façon équivalente : © (L) Xt = c + "t où c, dimension (n; 1) désigne un vecteur de constantes, © (L) = i=0 ©i Li ; où les matrice ©i ; 8i 2 [0; p] de dimension (n; n) ; satisfont ©0 = In et ©p 6= 0n : Le vecteur (n; 1) des innovations "t est i:i:d: (0n ; -) où - est une matrice (n; n) symétrique dé…nie positive. Le processus vectoriel des innovations f"t ; t 2 Zg est i:i:d: (0n ; -), et satisfait par conséquent les propriétés suivantes : E ("t ) =

e e e sym´trie, expression en base orthonormale. e c) Produit vectoriel D´finition g´om´trique du produit vectoriel de deux vecteurs. e e e Si u et v sont non nuls, le produit vectoriel de u et v est le vecteur de norme u v sin(u, v) directement orthogonal a ` (u, v) ; sinon le produit vectoriel est le vecteur nul. Notation u ∧ v. Bilin´arit´, antisym´trie. Expression dans un rep`re orthoe e e e normal direct. Condition de colin´arit´ de deux vecteurs. e e d) D´terminant ou produit mixte e D´finition

Rappel : la norme d’un vecteur [pic] est la longueur du segment [AB] : [pic]. Orthogonalité de deux vecteurs Dans l’espace, deux vecteurs [pic] et [pic] sont orthogonaux si et seulement si XX’ + YY’ + ZZ’ = 0 Dans la pratique, des vecteurs orthogonaux correspondent à des droites perpendiculaires. Trouver trois vecteurs orthogonaux au vecteur [pic]. Montrez que l’un est combinaison linéaire des deux autres. Vecteurs colinéaires Par convention, le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 A) adéquation de la solution globale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 a) Le déterminant de la matrice: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 b) La mesure de Kaiser-Meyer-Olkin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Opérations sur les matrices . . . . . . . . . 2.2.3 Propriétés des matrices carrées . . . . . . . 2.3 Espace euclidiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Sous-espaces . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Rang d’une matrice An×p . . . . . . . . . . 2.3.3 Matrice euclidienne . . . . . . . . . . . . . . 2.3.4 Projection

Applications linéaires particulières 1re année 62 63 64 65 Orthogonalité 2e année 199 54 55 56 57 Écritures matricielles 1re année Espaces vectoriels euclidiens 2e année 203 Calcul matriciel 1re année Endomorphismes orthogonaux 2e année 204 Changements de bases 178 1re année Systèmes linéaires 1re année 181 Endomorphismes symétriques 2e année 208 VII Partie 5 – Géométrie 66 67 68 69 70 71 72 73 Espaces affines 1re année 212 214 74