Matrice orthogonale

structure euclidienne canonique. Soit A et B les deux matrices de nies par : 01 1 1 11 0 1 0 ;1 0 1 A = B 1 1 1 1 C et B = B ;1 0 0 ;1 C @1 1 1 1A @0 1 1 0A 1 1 1 1 0 ;1 0 1 1. Calculer A2 et B 2 . En deduire les valeurs propres de A et de B . 44 ESCP 99 - Oral 2. Determiner les sous-espaces propres des endomorphismes a et b canoniquement associes a A et B . 3. Montrer qu'il existe une base orthonormee de R4 , dans laquelle les matrices associees a a et b sont toutes deux diagonales. 1. Un

solution unique. A chaque hypoth`se est e e e associ´e une m´thode sp´cifique. e e e 2.1.2 Premi`re hypoth`se : l’orthogonalit´ e e e La SVD Dans un premier temps, nous supposerons que les modes spatiaux vk (r) et temporels uk (t) sont mutuellement orthogonaux, ce qui revient ` ´crire : ae 0 Bkk = Bk si k = l si k = l uk , ul = vk , vl = Bkl δkl = (2.2) o` .,. d´signe le produit scalaire et Bk = A2 . Cette condition d’orthogonalit´ exprime u e e k la d´corr´lation entre les modes spatiaux ou

L’objet de ce problème est d’étudier les projections orthogonales et coniques planes de (H). La partie III est indépendante des deux premières parties. où R et h sont deux constantes > 0. PARTIE I : Formules de projection orthogonale. 1) Soit n un vecteur de norme égale à 1, de coordonnées (a, b, c) avec c ≥ 0 et soit (P) le plan affine passant par O et orthogonal à n , associé au plan vectoriel P . Soit p la projection affine orthogonale de E sur le plan (P), et (C) la courbe plane image

M est inversible. Dans ce cas, M −1 est la matrice de u−1 dans B . soit injective donc il suffit que Ker u = {0}. (3.19) Lorsque dim E < ∞, pour qu’un endomorphisme de E soit un automorphisme, il suffit que u soit surjective donc que rg (u) = dim E . (4.9) La matrice dans la base B de la famille F de p vecteurs de E est la matrice P dont la premi`re e colonne est constitu´e de la matrice colonne dans B du premier vecteur de F etc. e Matrices (4.10) Dans le contexte (4.9), lorsque dim

modèle 4.1 Analyse des résidus . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Résidus et valeurs aberrantes . . . 4.1.2 Analyse de la normalité . . . . . . 4.1.3 Analyse de l’homoscédasticité . . . 4.1.4 Analyse de la structure des résidus 4.2 Analyse de la matrice de projection . . . . 4.3 Autres mesures diagnostiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices d’approfondissement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii xi 1 1 21 31 40 40 62 71 81 81 87 98 103 103 104 112 112 139 153 Chapitre 2. Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1 2.2 2.3 L’essentiel du cours et exercices d’assimilation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices d’entraînement . . . . . . . .

basée sur la variance spécifique des variables et permet d’extraire un minimum de facteurs qui expliquent la plus grande partie possible de la variance spécifique. C’est habituellement la méthode privilégiée. Types de variance rapportés dans la matrice factorielle Une fois la méthode choisie, il est possible de spécifier le nombre de facteurs que l’on désire extraire des données. On comprendra que cette décision est pertinente dans une perspective confirmatoire et non dans une perspective exploratoire

récepteurs hij est le gain complexe du canal entre la j-ème antenne émettrice et la i-ème antenne réceptrice H est la matrice NxM du canal CNAM Electronique C2 T T avec x = [ x1 , x2 ,..., xM ] et y = [ y1 , y2 ,..., y N ] •Décomposition propre de H: NxM Nxm mxm mxM avec m = min( M , N ) • U et V sont des matrices unitaires ( U UH = V VH =1) • D est une matrice diagonale dont les éléments non nuls sont les valeurs propres de H : y H=UDV* n x CNAM Electronique

du modèle 4.1 Analyse des résidus . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Résidus et valeurs aberrantes . . . 4.1.2 Analyse de la normalité . . . . . . 4.1.3 Analyse de l’homoscédasticité . . . 4.1.4 Analyse de la structure des résidus 4.2 Analyse de la matrice de projection . . . . 4.3 Autres mesures diagnostiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 11. Matrices 7 7 7 7 8 11.1. 11.2. 11.3. 11.4. 11.5. 11.6. 11.7. Généralités . . . . . . . . . . . . . . . Rang d’une matrice . . . . . . . . . . Généralités sur les matrices carrées Matrice d’une application linéaire . Matrice de Passage . . . . . . . . . . Changements de base . . . . . . . . Trace d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .