Matrice orthogonale

3 Bases orthogonales de signalisation spectralement optimisées conjointement Application aux communications numériques Thierry Chonavel12 1 2 3 4 4 5 6 7 8 1 Institut Télécom ; Télécom Bretagne, Lab-STICC UMR CNRS 3192 Technopôle Brest-Iroise, CS 83818, 29238 Brest Cedex 3, France thierry.chonavel@telecom-bretagne.eu 2 Université européenne de Bretagne 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Résumé Cet article présente une technique de génération de bases orthogonales de signaux

Vectoriel Euclidien (préhilbertien) Rn. i)- NOTATION : • Soit un élément de Rn, on note alors X la matrice colonne ( à n lignes et 1 colonne) constituées des composantes, dans la base canonique B, du vecteur x . • X= ; la transposée X’= la matrice ligne ( à 1 ligne et n colonnes)  ni xxxx 1                 n i x x x   1  ni xxx 1• Où B={ e1, e2, …, en } et   

Pontoise Valérie Nachef Alexandre Mizrahi Matrices Définitions Soit K un sous-corps de C. Une matrice à coefficients dans K est notée : A = (aij ) 1≤i≤p où p représente le nombre 1≤j≤q de lignes et q le nombre de colonnes. On écrit A ∈ Mpq (K). Soient A et B deux matrices de Mnp (K). On définit la matrice C = A + B où C = (cij ) avec cij = aij + bij , la matrice A = λA où A = (aij ) q avec aij = λaij . Si A ∈ Mnp (K) et B ∈ Mpq (K), on définit la matrice P = AB par pij = k=1 aik bkj et P ∈ Mnq (K)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 REDUCTION DE JORDAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1 Surdiagonale de A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Matrice élémentaire de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3 Matrice de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4 Composition de la surdiagonale base associée à une réduite de Jordan 1.2.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.4 Applications affines 1.5 Le groupe affine 1.6 Convexité 2. Dualité et algèbre bilinéaire 2.1 Dualité 2.2 Formes quadratiques 2.3 Espaces vectoriels euclidiens 2.3.1 Sous-espaces, symétries, projections 2.3.2 Le groupe orthogonal 2.3.3 Orientations 2.3.4 Le groupe orthogonal d'un plan vectoriel euclidien 2.3.5 Angles de vecteurs 2.3.6 Angles de droites 2.3.7 Le groupe des isométries vectorielles de l'espace 2.4 Espaces affines euclidiens 2.4.1 Définitions fondamentales 2.4.2 Isométries affines

identité de E, Mn (R) le R-espace vectoriel des matrices réelles carrées de taille n. Si E1 et E2 sont des sous-espaces vectoriels de E supplémentaires, c’est-à-dire E = E1 ⊕ E2 , on appelle projecteur sur E1 parallèlement à E2 l’endomorphisme p de E qui, à un vecteur x de E se décomposant comme x = x1 + x2 , avec (x1 , x2 ) ∈ E1 × E2 , associe le vecteur x1 . On rappelle que si A est une matrice de Mn (R), la matrice exponentielle de A est la matrice : exp(A) = Ak . k=0 k! +∞ De même si u est

plan P 1 - Points et vecteurs : vecteur associé à deux points. Ensemble P des vecteurs du plan. Opérations d’espace vectoriel de P. Distance dans P, inégalités triangulaires (vectorielles et points). 2 - Norme et angles orientés dans P, vecteurs orthogonaux, angles géométriques. 3 - Bases de P : vecteurs colinéaires, bases, coordonnées, bases orthonormales, bases orthonormales directes. 4 - Repères du plan, repères orthonormés, repères orthonormés directs. B) Autre repérage dans le plan rapporté à

Régression et corrélation. 3.4.1 Régression et corrélation. 3.4.2 Méthode des moindres carrés. 4. Régression orthogonale dans R². 4.1. Notion d'espace vectoriel euclidien. 4.1.1. Espace vectoriel R n. 4.1.2. Produit scalaire dans R n. 4.2. Approche euclidienne de la régression. 4.3. Régression orthogonale. Axe principal. 4.3.1. Introduction. 4.3.2. Définitions. 4.3.3. Diagonalisation de la matrice des variances-covariances. 4.3.4. Recherche des axes principaux. 4.3.5. Coordonnées factorielles et composantes

Régression et corrélation. 3.4.1 Régression et corrélation. 3.4.2 Méthode des moindres carrés. 4. Régression orthogonale dans R². 4.1. Notion d'espace vectoriel euclidien. 4.1.1. Espace vectoriel R n. 4.1.2. Produit scalaire dans R n. 4.2. Approche euclidienne de la régression. 4.3. Régression orthogonale. Axe principal. 4.3.1. Introduction. 4.3.2. Définitions. 4.3.3. Diagonalisation de la matrice des variances-covariances. 4.3.4. Recherche des axes principaux. 4.3.5. Coordonnées factorielles et composantes

quadratique définie par la formule q(x, y, z) = x2 + 4xy + 6xz + 4y2 + 16yz + 9z2 . 1) Déterminer la forme bilinéaire symétrique associée à q et sa matrice dans la base canonique. La forme polaire de q est la forme bilinéaire f : R 3 × R 3 → R définie par f((x, y, z), (x′, y′, z′)) = xx′ + 2xy′ + 2x′y + 3xz′ + 3x′z + 4yy′ + 8yz′ + 8y′z + 9zz′ . La matrice de q est   1 2 3 2 4 8 3 8 9   2) Décomposer q en combinaison linéaire de carrés de formes linéaires linéairement indépen- dantes. En déduire