Image réciproque

◦ f : ]0, +∞[→ R vérifie pour tout x ∈]0, +∞[ : g ◦ f (x) = g f (x) = g 1 = x 1 x 1 x −1 +1 = 1− x = − g(x). 1+ x 2.2. Image directe, image réciproque Soient E, F deux ensembles. Définition 1 Soit A ⊂ E et f : E → F, l’image directe de A par f est l’ensemble f (A) = f (x) | x ∈ A y f F E f (A) A f (A) x A Définition 2 Soit B ⊂ F et f : E → F, l’image réciproque de B par f est l’ensemble f −1 (B) = x ∈ E | f (x) ∈ B f F E B y B x f −1 (B) f −1 (B) Remarque Ces notions sont plus

scientifiques. I I.1 Généralités sur les fonctions Définitions Définition I.1 Une application f est définie par la donnée de trois objets : un ensemble de départ E, un ensemble d’arrivée F et, pour tout élément x de E, la donnée d’une unique image notée f(x). L’ensemble des applications de E dans F est noté F (E; F ) ou bien F E . Les ensembles de départ et d’arrivée font partie de la spécification d’une application. Les changer revient à considérer de nouvelles applications. R → R [0, π]

1 Notion de fonction continue . . . . . . . . . . 4.4.2 Équation de la tangente en un point . . . . . 4.4.3 Opérations sur les fonctions dérivables . . . . 4.4.4 Dérivabilité et sens de variation . . . . . . . . 4.4.5 Dérivation de la bijection réciproque . . . . . 4.4.6 Dérivée seconde, concavité, inflexions . . . . . 4.4.7 Dérivées d’ordre supérieur . . . . . . . . . . . Fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.1 Exponentielle, logarithme népérien . . . . . . 4.5.2 Fonctions exponentielles

* Notation : Exp. On a l'équivalence : y = Exp(x)   y = ex  (y exposant x) x = ln y C'est dire que la fonction Exp est la fonction réciproque de ln. La notation puissance : ex, est due à Euler * Etymologie : du latin exponer = exposer : placer à côté. Le terme est dû à Jacques (Jakob) Bernoulli. * Ensemble de définition : R tout entier, image de ]0 , + [ par la fonction ln (par réciprocité). Périodique : non. * Fonction dérivée : (ex)' = ex. * Nom de la courbe associée

Propriétés : On dit que les espaces E et F sont isomorphes ; la bijection réciproque f^(-1) est un isomorphisme de F dans E ; 2 e.v. isomorphes sont de même dimension(dim⁡E=dim⁡F). Un automorphisme est un endomorphisme (application linéaire) bijectif de E. Notation : l’ensemble des automorphismes de E se note GL(E). Si f∈L(E,F) et g∈L(F,G) alors g∘f∈L(E,G). Attention, généralement f∘g≠g∘f. Noyau et image : Le noyau de f, noté Ker(f), est l’ensemble Ker(f)={u∈E / f(u)=0} Autrement

3 Intégration 4 Equations différentielles Serge Dumont Mathématiques 2015-2016 3 / 44 1 – Introduction 1.3 – Notion de fonction Définition 1 Une fonction est un procédé qui permet d’associer à un nombre x, un unique autre nombre appelé image. Si on appelle f cette fonction, l’image de x par f sera notée x → f (x) ou f (x). Exemple : x → x2 est une fonction f et f (x) = x2 est l’image de x par f . Contre-exemple : la correspondance qui a tout nombre positif fait correspondre les nombres

compatible / 2.3 Fonction de IR dans IR Soit Alors est une fonction ssi A chaque x de A correspond 1 seul élément f(x) de B Remarque : A : domaine de définition B : domaine image 2.4 Image et image réciproque Soit 2.4.1 Image Ensemble image par f de 2.4.2 Image réciproque Ensemble image réciproque de f par B’⊂ B : Remarque : si f est une fonction, f-1 n’est est pas tjrs une 2.5 Applications surjectives, injectives et bijectives 2.5.1 Application (=fonction) injective : Des

1) f est continue (sur D) [pic] 2) f est continue en tout point de [pic] [pic] 3) f est continue sur [pic] [pic] Il est alors évident logiquement que [pic] mais que les réciproques sont fausses en général. [pic] Sur l’exemple : - f n’est pas continue sur le segment [pic] - f n’est pas continue en tout point de [pic] (puisqu’elle ne l’est pas en 1) - [pic] est continue : f

la forme développée de f : √2 = −2 × √2 6. Tableau de variations de x Variations de f -2 -2 sur l’intervalle −2; 5 : 1 2 4 5 -1 − 13 × √2 + 7 = −2 × 2 − 13 × √2 + 7 = 3 − ×√ -2 b) Pour déterminer l’ensemble des réels ayant comme image 0 par , il faut résoudre l’équation f(x) = 0 ; pour cela, on choisit la forme factorisée de f : f(x) = 0 2 −1 − −7 =0 Si un produit est nul, alors au moins un de ses facteurs est nul. Donc 2 − 1 = 0 ou − −7=0 Soit = ou =− Exercice 2 : (2 points)

La fonction logarithme népérien, définie sur R+∗ et notée ln, est la bijection réciproque de la fonction exponentielle : ∀x>0 , ln(x)=y⇔x=ey Pour tous réels strictement positifs x et y : ln(xy)=ln(x)+ln(y) Pour tout réel x : ln(ex)=x Pour tout réel x strictement positif : eln(x)=x ln(1)=0 BLe signe TS01304-01.PNG CLes propriétés algébriques Pour tous réels strictement positifs x et y, et tout entier naturel n : ln(xy)=ln(x)+ln(y) ln(1x)=−ln(x) ln(xy)=ln(x)−ln(y) ln(xn)=nln(x) ln(x√)=12ln(x)