Image réciproque

vectorielle) ♦ Principe Théorème de Thalès (version vectorielle) Soit ABC un triangle, soit I un point de (AB) et J un point de (AC) tel que (IJ)//(BC) alors il existe un réel k tel que {draw:frame} {draw:frame} De même pour la réciproque de Thalès. Méthode : Comment montrer que trois points sont alignés ♦ Principe {draw:frame} Méthode : Comment monter que deux droites sont parallèles ? ♦ Principe Pour montrer que deux droites (d) et (d') sont parallèles, on détermine

suivante I.1 Fonctions d’une variable réelle I.1.1 I.1.2 I.1.3 I.1.4 I.1.5 I.1.6 I.1.7 I.1.8 I.1.9 I.1.10 Définition des dérivées . . . . . . . . . . . . Propriétés des dérivées . . . . . . . . . . . . Fonctions réciproques . . . . . . . . . . . . . Fonctions trigonométriques réciproques . . Formule des accroissements finis . . . . . . Formule de Taylor-Lagrange . . . . . . . . . Formule de Taylor-Young . . . . . . . . . . . Infiniment petit . . . . . . . . . . . . . . . . Développements limités-définition

intégration d’une fraction 2 0 rationnelle. Remarque : Bien souvent, on effectue le changement de variable u = ψ(t) avec ψ bijective plutôt que t = ϕ(u). Il faut bien vérifier le caractère C 1 de la réciproque ψ −1 ce qui n’est pas automatique. Par contre le théorème de dérivation des fonctions réciproques assure que la condition est réalisée dès que ψ ∈ C 1 et ψ ne s’annule pas. 2.3 Intégration par parties Soient f, g : [a, b[→ K deux applications continûment dérivables. Pour tout x ∈ [a,

un M0 tel que pour tout n de ℕ, |un| ≤M0.  On montre qu’il existe deux réels m et M tels que pour tout n de ℕ m≤un≤M |un| ≤M0 donc par définition de la valeur absolue on a - M0≤ un≤M0 On pose m=-Mo et M=Mo Donc pout tout n de ℕ : m≤un≤M. (réciproque) On suppose qu’il existe m et M tels que pour tout n de ℕ, m≤un≤M. On montre qu’il existe un réel M0 tel que pour tout n de ℕ, |un| ≤M0.  On pose M0= Max(|m|,|M|) On a –M0≤m≤un≤M≤M0 donc –M0≤un≤M0 et donc |un| ≤M0.  « Toute suite croissante

Astucieux ! - L1/Math Sup - ?? ex = P100 k=1 xk k! + o(x100). Exercice 7 - Développement limité d’une fonction réciproque - L1/Math Sup - ?? 1. Calculer f0 et appliquer les théorèmes du cours. 2. f est impaire. 3. Écrire f−1(x) = a1x + a3x3 + a5x5 et utiliser que f  f−1(x) = x en composant les développements limités. Exercice 8 - Développement limité d’une fonction réciproque - L1/Math Sup/Oral Mines - ?? Posons g = f−1(x). Justifier que g admet un développement limité d’ordre 3. Puis,

y a aussi une réciproque du théorème de Thalès qui permet de démontrer que deux droites sont parallèles entre elles. Les droites (FA) et (GE) sont elles parallèles ? DFG un triangle avec DA = 9cm ; DF = 11cm ; DE = 6,3cm ; DG = 7,7cm Les droites (FA) et (GE) sont sécantes en D ; les points D, A , F et D, E , G sont alignés dans le même ordre D’une part DA/DF = 9/11 D’autre part DE/DG = 6,3/7,7=63/77=9/11 On constate que les rapports sont égaux. D’après la réciproque du théorème de

′ Dérivée logarithmique (srce): Limites: lim0+ ln x = −∞ lim+∞ ln x = +∞ 1.2 Fonction exponentielle népérienne. La fonction exponentielle népérienne x → ex est une bijection stricte∗ ment croissante de R sur R+ . Elle est la bijection réciproque de la fonction logarithme népérien. Leurs graphes sont symétriques par rapport à la première bissectrice en repère orthonormal. ea e a+b = e a ∗e b (e a ) b = e ab = e a−b eb 1 = e−a e0 = 1 e1 = e = 2.718 ea ln x qqs le r´el x > 0 e x = ln (e x)

composé de 1755/351=5 cônes et 1053/351=3 porcelaines. Exercice n°6. (6 points) Figure 1 : Si un triangle est rectangle, alors le centre de son cercle circonscrit est au milieu de l'hypoténuse. Donc ABC n'est pas rectangle Figure 2 : donc D'après la réciproque du théorème de Pythagore, ABC est rectangle en B. Figure 3 : Si dans un triangle la longueur de la médiane d'un côté est égale à la moitié de ce côté, alors le triangle est rectangle donc ABC est rectangle en C. Figure 4  : Si un triangle est rectangle

Thales Les points C, E, A et C, F, B sont alignés dans cet ordre sur deux droites sécantes en C. (0,5 point) * Test : CECA=7,5-4,57,5=37,5=25=0,4 CFCB=10-610=410=25=0,4 (0,5 point) * Donc CECA =CFCB (0,5 point) * et d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (MP) et (BC) sont parallèles. (0,5 point) 3°) Calculer EF. (1,5 point) * Données : - Les points C, E, A et C, F, B sont alignés sur deux droites sécantes en C. - les droites (EF) et (CB) sont parallèles

plus avantageuse Ex5 1. Je sais que E,B,D et E,A,C sont alignés dans le même ordre, de plus EB/ED = 3/5 et EA/EC = 3/5, d’après la réciproque du théorème de Thalès, on a (BA)//(DC) 2. D’après le 1. on peut appliquer le théorème de Thalès et BA/DC = 3/5 donc BA/15=3/5 et BA = 3x15 : 5 = 45:5 = 9 cm 3. CD² = 15² = 225 DE²+CE² = 9²+12² = 81 + 144 = 225 D’après la réciproque du théorème de Pythagore, CDE est donc rectangle en E. 4. a. ECD étant rectangle en E, on peut utiliser la trigonométrie et cosECD