Géométrie non euclidienne

de résoudre élégamment certains problèmes de géométrie plane, dans lesquels interviennent des déplacements et des similitudes, et en particulier des rotations autour du point zéro, origine des coordonnées. Un nombre complexe a + ib, ou encore ρeiθ sous sa notation polaire, devient ainsi un opérateur et réalise, par la multiplication, une rotation d’angle θ suivie d’une homothétie de rapport ρ. La généralisation de cette méthode aux problèmes de géométrie dans l’espace (à trois dimensions) a naturellement

Chapitre 1 GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE 3ème I. SPHERES ET BOULES 1. Définitions Soit O un point dans l’espace. On appelle sphère de centre O et de rayon R l’ensemble des points de l’espace qui sont situés à une distance R du point O. Les segments [A1B1] et [AB] sont des diamètres de la sphère. Les segments [OA], [OB] et [OA2] sont des rayons de la sphère. On appelle boule de centre O et de rayon R l’ensemble des points situés à une distance inférieure ou égale à R du point O. Remarque : la boule

2007 – 2008 Les vecteurs Classe de seconde Les Vecteurs ( En seconde ) Derni`re mise ` jour : Mardi 22 Avril 2008 e a Vincent OBATON, Enseignant au lyc´e Stendhal de Grenoble (Ann´e 2007-2008) e e Lyc´e Stendhal, Grenoble e -1- 2007 – 2008 Les vecteurs Classe de seconde J’aimais et j’aime encore les math´mae tiques pour elles-mˆmes e comme n’admettant pas l’hypocrisie et le vague, mes deux bˆtes e d’aversion. Stendhal Lyc´e Stendhal, Grenoble

--^^^''" ' $XKX QA 501 ,F4 F.J. Eléments de géométrie descriptive. ELEMENTS GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE N» 271 Tout exemplaire qui ne sera pas revêtu des trois signatures ci ^dessous sera réputé contrelait. Le Cours de Mathématiques élémentaires comprend les ouvrages suivants : Élémkms » d'Arithmétique. d'Algèbre. Cours d'Algèbre élémentaire. Éléments de Géométiue. CoLRS DE Géométrie élément.\ire. Éléments DE Géométrie descriptive B DE TrIGO.NOMÉTRIE. D de Mécanique

orientés de deux vecteurs I) Définition : • et • sont deux vecteurs non nuls. et sont deux représentants de ces vecteurs. • A’ et B’ sont les points d’intersections respectifs des demi-droites [OA) et [OB) avec le cercle trigonométrique (C ). La mesure en radians de l’angle orienté ( ; ) sont les mesures en radian de ( ′ ; ′) II) Propriétés des angles orientés 1) Propriétés et sont deux vecteurs non nuls. • et sont colinéaires de même sens si , et seulement si, (

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Contrôle n°5 – Vecteurs Exercice 1 (4 points) 1. Compléter : 2. Placer le point H tel que . 3. Placer le point I tel que 4. Placer le point J tel que Exercice 2 ( 4 points) Soit (O ;  ; ) un repère du plan. On considère les points A( 6 ; 7) , B(5 ; - 2) ; C(4 ; - 1) et D(0 ; 1). 1. Déterminer les coordonées des vecteurs et 2. Déterminer les coordonnées du vecteur . 3. Déterminer les coordonnées du vecteur . 4. Trouver les coordonnées du point M tel que Exercice

avoir qu’une forme parfaite donc sphérique. Le mouvement des planètes repond selon lui à une harmonie musicale : l'harmonie “Tout est nombre. ”– Le grand apport de Pythagore Théorème de Pythagore Le théorème de Pythagore est un théorème de géométrie euclidienne qui met en relation les longueurs des côtés dans un triangle rectangle : le carré de la longueur de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés Avec les notations usuelles ,  et   la formule s’écrit encore : 

Les vecteurs au et av ne sont pas colinéaires et le système : 9 1 3 + t = 3 + t = + 2s 110476_c11_prof_fig08 2 2 équivalent à 3 + t = 2 9 + 3t = 4 + s s=2 2=4–s n’a pas de solution. Les droites d1 et d2 n’ont pas de points communs et sont non coplanaires. 1 Enseignement spécifique ● Chapitre 11 ● Produit scalaire dans l’espace 2 1 5 2 5 d1 B ᏼ1 S ᏼ2 d2 A La droite d1 coupe 2. • L’équation 78(3 + t) – 106(9 + 3t) + 100 + 185 = 0 a pour 110476_c11_prof_fig09 29 unique solution

. . . . . . III.2 Application à la résolution des inéquations du second degré . . IV Tableau récapitulatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . V Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Géométrie plane I Colinéarité de deux vecteurs . . . . . . . . . . . . . II Équations d’une droite . . . . . . . . . . . . . . . . II.1 Vecteur directeur d’une droite . . . . . . . . II.2 Équations cartésiennes d’une droite . . . . II.3 Équations cartésiennes