Fraction rationnelle

Intégration de fractions rationnelles: décomposition en éléments simples Dans ce (long) chapitre, on montre comment on trouve une primitive pour toute fraction rationnelle img360.png , où img361.png sont de polynômes. On procède par étapes, en illustrant la théorie à l'aide de l'exemple img362.png La première partie de ce chapitre est plutôt algébrique: nous citons et utilisons ici plusieurs théorèmes importants d'algèbre sans démonstration, qui n'a pas sa place dans ce cours d'analyse.

variable (il y'en beaucoups ) ou une intégration par partie ou d'autres ; dans la suite on va donner une série de méthodes concérnant certaines classe de fonctions : 1. −du 1+u2 = − arctan(u) + c = − arctan(cos(x)) + c. P Intégrale d'une fraction rationnelle : Q . On procède par étapes ; -1er Etape : Si deg(P ) ≥ deg(Q) ; on fait d'abord une division Euclidiènne ona :P = E.Q + R R(x) P (x) Donc on a : Q(x) = E(x) + Q(x) ; avec ; deg(R) < deg(Q) -2eme Etape : On fait la décomposition en éléments

e  e § ¦ – Th´ or` me du retard e e On d´ signe par f t a le signal identique a f t e ` mais retard´ de la dur´ e a. On a : e e 1 A ¤ § ¦ § ¦  F 8 D @1 7 f g F z Gz De mˆ me, si z z 1 F z est une fraction rationnelle e dont les racines du d´ nominateur sont dans le cercle e unit´ alors le signal f k converge pour r e ∞ et on a: z 1 lim f k lim F z z 1 z k ∞ e § ¦ 5 e t ∞ p 0 § ¦  (§ ¦  l 0 l 0 5 k  5 §

linéariser autour d'un point de fonctionnement…). I.2. Transformée de Laplace: La transformée de Laplace permet de remplacer les équations différentielles qui relient les grandeurs caractéristiques de nos systèmes par des relations à base de fractions rationnelles. I.2.1. Définition. • Considérons une fonction f de la variable réelle t supposée nulle pour les valeurs négatives de t. La transformée de Laplace de f, notée F est une fonction de la variable complexe p définie par +∞ F(p) = ∫ e −

✓✍✌✭✪ fk ★ l ✫ ✎✔✑ z★ l ✍ ✓ ✌✭✪ fk ✫ ✎✦✑ z★ l F ✝ z ✞ Ce r´esultat permet de signaler que l’op´erateur z ★ s’apparente a` l’op´erateur “retard d’une p´eriode”. ❆ ∞ lim p F ✝ p ✞ ❆ p 0 De mˆeme, si z ★ z 1 F ✝ z ✞ est une fraction rationnelle dont les racines du d´enominateur sont dans le cercle ☎ unit´e alors le signal f k converge pour r ✮ ∞ et on a: z✴ 1 lim f k ✑ lim F ✝ z✞ z❆ 1 z k❆ ∞ 1.1.4 Exemples de transform´ees en z Exemple 1.1 Soit le signal discret tel

vivaient à Elée, au sud de Rome, au IVe siècle avant J.-C. ? 91. Pour décomposer une fraction rationnelle en une somme de fractions simples on calcule la valeur de a et de b pour que les égalités suivantes soient vraies : a) x+2 a b = + (x ! 1)(x + 1) x ! 1 x + 1 b) 1 a b = + (x ! 1)(x + 1) x ! 1 x + 1 c) 2x ! 7 a b = + x ! 5x + 6 x ! 2 x ! 3 2 d) Décomposer, selon le même schéma, la fraction rationnelle x+3 . x + 3x + 2 2 Nous avons vu que si l’on trouve (par tâtonnement par exemple) un

Une distillation fractionnée KARDJOUDJ Amira et BENSALAH Safia 1éreS/ Mars 2015 Introduction Dans ce TP, on cherche à obtenir un alcool à 90% en volume en utilisant une distillation fractionnée du vin. Pour cela, nous considérons que le vin est essentiellement constitué d'eau et d'éthanol. Nous avons aussi connaissance de la température d’ébullition de ces deux molécules : • L'eau est de 100°C • L’Éthanol est de 79°C Développement et protocole Lors d'une distillation fractionnée on fait bouillir

. 0.2 Manipulation des puissances . . . . . . . . . 0.2.1 Règles de calcul . . . . . . . . . . . . 0.2.2 Racines carrées . . . . . . . . . . . . 0.3 Fraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.3.1 Multiplication et division de fractions 0.3.2 Simplification d’une fraction . . . . . 0.3.3 Addition de fractions . . . . . . . . . 0.4 Fractions algébriques . . . . . . . . . . . . . 1 Systèmes linéaires, programmation linéaires 1.1 Mise en équation . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Équations linéaires

 TP: Extraction et analise chromatographique d'une huile essentielle Objectifs: savoir expliquer le but des différentes étapes d'un protocole, ainsi que leur principe de «fonctionnement» Ces étapes sont: la distillation, l'extraction par solvant, le relargage, la chromatographie sur couche mince. Matériel: -5.0g de poudre de clous de girofle. -Entonnoir large en plastique. -Ballon 250ml. -Pierres ponces. -Montage d'hydrodistillation. -Erlenmeyer 100ml. -Ampoule

Pourcentages des types d’eau : La quantité d’eau salée est donc supérieure a celle d’eau douce. Eau salée 97% et eau douce 3%. Conclusion: La distillation permet de séparer certains constituants d’un mélange homogène. La distillation d’une eau minérale a permis de recueillir un distillat constitué d’eau presque pure tandis que les sels minéraux sont restés dans le ballon. Usine Temak : Usine de dessalement localisée en Thira, Grece Crée le 22/12/09 Utilise le méthode d’Osmose Inverse