Fraction rationnelle

0 ; 1 ; 2 ; 3 ; …}  L’ensemble des nombres décimaux est noté o est l’ensemble des nombres qui peuvent s’écrire avec un nombre fini de chiffres après la virgule. Ils peuvent s’écrire comme une fraction dont le dénominateur est une puissance de 10  L’ensemble des nombres rationnels est noté ℚ. o ℚ est l’ensemble des nombres qui peuvent s’écrire sous la forme d’un quotient  . avec a entier relatif et b entier relatif non nul. L’ensemble des nombres réels est noté est

Cauchy de nombres rationnels On explique brièvement dans ce paragraphe comment construire le corps R des nombres réels à partir du corps Q des nombres rationnels. L’ensemble N des entiers naturels peut être construit à partir de la notion de cardinal dans le cadre de la théorie des ensembles. Après avoir étudié la théorie des groupes, on construit l’anneau Z des entiers relatifs par symétrisation puis le corps Q des nombres rationnels est construit comme le corps des fractions de Z. Le corps Q

utilisation de la propriété PGCDp;q=PGCDq;p-q, Algorithme d'Euclide (division euclidienne successive en divisant à chaque fois par le reste de la division). Utilisation du PGCD : déterminer l'ensemble des diviseurs communs à 2 nombres, rendre une fraction irréductible, vérifier que 2 nombres sont premiers entre eux (PGCD = 1). PPCM : décomposition en facteurs premiers (produit des facteurs communs élevés à la plus forte puissance), p×q=PGCDp;q×PPCMp;q. Numération entière : pédagogie La quantité

−1, 0, 1, 2, . . .} – ensemble des nombres rationnels p | p, q ∈ Z, q = 0 q Q= Proposition 1 Un nombre est rationnel si et seulement s’il admet une écriture décimale périodique ou finie. Par exemple : 3 = 0, 6 5 1 = 0, 3333 . . . 3 1, 179 325 325 325 . . . ←→ ←→ ←→ – L’ensemble des nombres réels R est l’ensemble de tous les nombres possibles. En particulier, cet ensemble renferme les nombres irrationnels qui ne peuvent pas être écrits comme fractions, exemple π et 2. Donc, N Z Q R On représente

Corrigés des exercices 113 113 116 119 121 V Table des matières 9. Calculs de primitives Les méthodes à retenir Énoncés des exercices Du mal à démarrer ? Corrigés des exercices 133 133 136 138 139 15. Nombres entiers, nombres rationnels Les méthodes à retenir Énoncés des exercices Du mal à démarrer ? Corrigés des exercices 219 219 221 223 225 10. Équations différentielles Les méthodes à retenir Énoncés des exercices Du mal à démarrer ? Corrigés des exercices 149 149

a et b ∈ Z∗ , nous conduit ` une extension de e e a Z par l’ensemble Q des nombres rationnels : En effet, un probl`me aussi simple que la r´solution de l’´quation xn = a, a ∈ Q∗ et e e e + n ∈ N, n’admet pas de solutions en g´n´ral dans Q. Plus pr´cis´ment, pour n = 2 : e e e e  Exemple 1.1.2 L’´quation x2 = 2 n’admet pas de solutions dans Q. x e • Mais, on sait former deux suites de nombres de rationnels l’une croissante, not´e e (xn ) : x1 = 1, 4, x2 = 1, 41, x3 = 1, 414, · · · et l’autre

Corrigés des exercices 109 109 112 115 117 III Table des matières 9. Calculs de primitives Les méthodes à retenir Énoncés des exercices Du mal à démarrer ? Corrigés des exercices 129 129 132 134 135 15. Nombres entiers, nombres rationnels Les méthodes à retenir Énoncés des exercices Du mal à démarrer ? Corrigés des exercices 215 215 217 219 220 10. Équations différentielles Les méthodes à retenir Énoncés des exercices Du mal à démarrer ? Corrigés des exercices 145 145

Cours d’analyse 1 Licence 1er semestre Guy Laffaille Christian Pauly janvier 2006 2 Table des mati` eres 1 Les 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 nombres r´ eels et complexes Nombres rationnels . . . . . . . . . . Nombres r´eels . . . . . . . . . . . . . Densit´e des rationnels et irrationnels Nombres complexes . . . . . . . . . . Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Logique et langage des ensembles 2.1 Propositions et op´erateurs logiques 2.2 Quantificateurs . . . . . .

Classe de seconde Exercices de Mathématiques 1 2 Chapitre I : Calcul num´rique e Classe de Seconde 1 Calculer les fractions suivantes : 3 2 1 3 A=1+ × − : 4 3 6 4 3 25 3 B = (7 − ) × ( + ) 2 7 5 1 3 1− + 4 3 C= 3 1 1+ − 4 3 25 24 × +1 D = 16 15 1 1 2+ + 1 2 1+ 2 5 Calculer : A = (−2)3 × 5 + 32 × 24 − 5 × 22 2 B = 9 × ( )2 − (32 × 2)4 − 5 × 22 3 (52 × 33 )2 × 2−2 × (−3)−2 C= 3 (32 × 24 ) × 2−3 × 5 2 3 (3 × 10−2) × (52 × 104 ) D= 6 × 103 × 25 × 107 Comparer les nombres

F:x 1 3 ---- sin 3 x + -- sin x ; G : x 12 4 1 1 1 ---- cos 5 x – ---- cos 3 x – -- cos x . 80 48 8 ➠ Voir Exercice 3.1.A.2 à la fin de la séquence c) Pour déterminer les primitives d’une fonction rationnelle, il est parfois nécessaire de décomposer la fraction rationnelle en éléments simples. Illustration Déterminer des primitives de la fonction f : x 2x2 + x + 3 ------------------------- . ( x + 1 )2 f (on commencera par déterminer les trois réels a, b et c tels que, pour