Factorisation

quotient et le reste de cette division par (x − a) ,deux méthodes peuvent s’utiliser. a Première méthode : méthode de la division euclidienne On utilise donc la disposition pratique de la division générale de deux polynômes (voir ? ?) 5. FACTORISATION b 5 Deuxième méthode : méthode de Horner La recherche du quotient d’un polynôme par (x − a) peut se faire par la méthode dite de Horner1 . Exemple : On cherche à diviser x2 − 5x + 3 par x − 2 1 2 1 -5 2 -3 3 -6 -3 On

Reprenons l‘exemple précédent avec A(1 ; 2) et B(3 ; 4) : conclusion : La distance AB vaut .  IV. Développement et factorisation 1) Identités remarquables                  développement [pic]                    factorisation                  développement [pic]                     factorisation                        développement [pic]                           factorisation Exemples : • [pic]                             [pic] • [pic] • [pic] • [pic]

Lorsque <0, l’équation n’a pas de solution dans . b. Lorsque =0, l’équation a une racine double : c. Lorsque >0, l’équation a deux solutions : . | II. Factorisation et signe du trinôme : 1. Factorisation du trinôme : Nous avons vu, au cours de la demonstration du theoreme 1 que si >0 alors Theoreme 2 : factorisation du trinome. Lorsque l’équation f(x)=ax²+bx+c=0 a deux solutions ( dans le cas >0) alors, pour tout réel x, | 2. signe du trinôme : Theoreme 3 :

4) Q(x) pour tout x ∈ 3. Calculer les racines de Q. En déduire sa factorisation. 4. Factoriser P, puis étudier son signe sur R. R (on dressera un tableau de signe). Exercice 3 On considère l’inéquation (I) : x+2 x+1 5x. 1. Quel est son ensemble de définition ? On le notera DI . 2. Montrer que sur DI , on a (I) ⇐⇒ −5x2 − 4x + 2 x+1 0. 3. Déterminer les racines du trinôme R(x) = −5x2 − 4x + 2, puis donner sa factorisation. 4. À l’aide d’un tableau de signe, résoudre alors l’inéquation

2. 2 Développement et factorisation, identités remarquables. Il est utile de connaître un procédé systématique (un algorithme) de développement, on en verra un en classe. Il n'existe malheureusement guère de méthode universelle de factorisation (voir toutefois le chapitre 6) ; d'où l'intérêt de connaître par c÷ur les identités remarquables : ce n'est pas tant pour le gain de temps obtenu dans le développement, mais dans la possibilité de voir des factorisations cachées. Identités remarquables

Trouver une factorisation Vérifier son développement On résout une équation du type : 4x – 7 = 0 ? Mon développement est juste. J’ai fait une erreur dans mon développement. Attention : Si vous voyez tout de suite qu’il ne faut pas factoriser pour résoudre l’équation, il n’est alors pas nécessaire de la mettre sous la forme f(x) = 0. Si vous n’avez pas vu une factorisation la première fois, c’est certainement qu’elle n’est pas évidente et qu’il s’agit probablement d’une factorisation par étapes

matières Erreurs classiques Nombres et ensembles Opérations et tableau des signes Hiérarchie des opérations Fractions Puissances et racines Puissances Racines Notations Polynômes et fractions polynomiales Les produits remarquables Les méthodes de factorisation Transformation de formules Méthodologie Exemple Equations paramétriques du 2ème degré Erreurs classiques Nombres et ensembles ℝ= Nombres réels = Tous les nombres ℚ= Nombres rationnels = Nombres à virgules ℤ= Entiers relatifs = Nombres négatifs

 (k ank ) ( k ) ( ( bnk +1) ← bnk ) − ( k ) bk akk M (k ) matriciellement : b ( k +1) = M ( k )b ( k ) ; 0 1 0  0 0 1 1 = 0 0     mk +1,k 0 0 m n,k  ;     0 0  0   0 1  Factorisation matriciellement : A( k +1) = M ( k ) A( k ) ; mik = − aik akk M (k ) ; b ( k +1) = M ( k )b ( k ) ; 0 1 0  0 0 1 1 = 0 0     mk +1,k 0 0 m n ,k      0 0  0   0 1  U = A(

La factorisation des polynômes de degré 3 Pour factoriser un polynôme de degré 3 P(x), il faut : 1) déterminer un nombre k tel que P(k) = 0 2) diviser P(x) par (x – k) 3) utiliser le quotient de la division pour écrire le facteur trinôme 4) factoriser le trinôme si possible Voici un exemple : Factorise P(x) = x3 – 6x2 + 11x – 6 1) P(1) = 0 2) Donc il faut diviser P(x) par (x –1). La division synthétique est utile pour

B(X) = X2 − 1 2. A(X) = 3X5 + 4X2 + 1 et B(X) = X2 + 2X + 3 Exercice 4 Montrer que X (X − 2) divise (X − 1)4 + (X − 1)2 − 2 et calculer le quotient. Exercice 5 Soit P (X) = X4 − 2X3 + 6X2 − 2X + 5. Montrer que i est racine de P. En déduire une factorisation dans C[X ] puis dans R[X ] (en produit de polynômes irréductibles) de P. Exercice 6 Factoriser X4 − 14X2 + 24X − 8 en facteurs irréductibles sur R[X ] sachant qu’il possède une racine multiple. Exercice 7 Factoriser X4 +2X3 +4X2 +2X +3 en facteurs