Factorisation

Chapitre 1: Second degré I - Fonction trinôme du second degré A - Rappels Définition On appelle fonction trinôme du second degré , toute fonction f définie sur ℝ par f  x =ax 2 bxc où a , b et c sont des réels et a≠0 B - Forme canonique Théorème 2 Pour tout réel x , on ax bxc=a   2 b b 2−4 ac x − 2a 4 a2  Cette forme est appelé forme canonique on note =b2−4 ac appelé discriminant Démonstration    b c ax bxc=a x   =a ax a 2 2    2 b b2 c x − 2  =a 2a 4a a 

Développement, factorisation et équation-produit Exercice N° 1. Brevet des collèges - Aix –Marseille 2000. On donne : D = ( 2x - 3)( 5x + 4) + (2x - 3)2. 1) Montrer, en détaillant les calculs, que D peut s'écrire: D = (2x- 3)(7x + 1). 2) Résoudre l'équation: (2x - 3)(7x + 1) = 0. Solution N° 1. Aix –Marseille 2000. 1) D = ( 2x - 3)( 5x + 4) + (2x - 3)2 D = ( 2x - 3)( 5x + 4) + (2x - 3)(2x –3) = (2x –3)(5x + 4 + 2x –3). D = (2x –3)(7x + 1). Vérification avec la 40gs. Procédure calculatrice HP 40G

Classe de 2° Lycée J.Amyot, Septembre 2015 Contrôle n°1 : calcul littéral (version 1) Ce contrôle est lié à la leçon, il doit être effectué en 20 minutes. La note, sur 10 points (1 par question), aura un coefficient 1 dans le calcul de la moyenne trimestrielle. Exercice 1 : développer Exercice 2 : factoriser A/ 3(x – 7) A/ a² + 2ab + b² B/ (x – 5)(-2x + 3) B/ 81 – x² C/ (a – b)² C/ 17x – 3x² = x(...........) D/ (4x + 9)² D/ (x+1)(x+2) + (x+1)(x+3) E/ résoudre : 2 + 3(x – 5) = 7 – (x –

www.mathsenligne.com CONTENUS 2N3 - FONCTION CARRE ET SECOND DEGRE CAPACITES ATTENDUES Expressions algébriques Transformations d’expressions ƒ Associer à un problème une expression algébrique. algébriques en vue d’une ƒ Identifier la forme la plus adéquate (développée, résolution de problème. factorisée) d’une expression en vue de la résolution du problème donné. ƒ Développer, factoriser des expressions polynomiales simples ; transformer des expressions rationnelles simples. Équations Résolution

n'a pas de solution 9x² + 6x + 1 = 0 T = 6² - 4(9 * 1) = 36 - 36 = 0 T = 0, l'équation a une solution double : 6 6 1 x1 = x 2 = − =− =− 2×9 18 3 2 Vérification :  1  1 9 −  + 6 −  + 1 = 1 − 2 + 1 = 0  3  3 2. Factorisation d'un polynôme du 2nd degré a. Soit un polynôme P(x) = ax² + bx + c. Factoriser ce polynôme revient à l'écrire sous la forme d'un produit de polynômes du 1er degré. Pour ce faire, il faut rechercher les solutions de l'équation P(x) = 0 en calculant

P1(x)=−x2+3x−2 Δ=9−4×(−1)×(−2)=1 P1 possède 2 racines : x1= −3−1 −2 =2 et x2= −3+1 −2 =1 P2(x)=x2−4x+4 Δ=16−4×1×4=0 P2 possède une seule racine : x0=− −4 2 =2 P3(x)=x2+x+1 Δ=1−4×1×1=−3 P3 ne possède aucune racine. Théorème (factorisation d'un polynôme du second degré) Soit P un trinôme du second degré de discriminant Δ. Si Δ > 0 : P(x)=a(x−x1)(x−x2) (où x1 et x2 sont les racines de P); Si Δ = 0 : P(x)=a(x−x0)2 (où x0 est l'unique racine de P); Si Δ < 0 : P ne se factorise pas

I - Second degré Résolution d'équation du second degré Signe de ax²+bx+c Factorisation d'un polynôme du second degré Calculatrice et second degré I 5 6 7 7 A. Résolution d'équation du second degré 1. Résolution de l'équation ax²+bx+c=0 Définition Pour résoudre l'équation ax²+bx+c=0 on calcule  b −4 a c 2 Si 2 b −4 a c est positif on a alors deux solutions possibles : 2 2 - b−  b −4 a c ou - b b −4 a c x 1= x 2= 2a 2a   Si Si 2 b −4 a c est égal à 0 on a

calculer le discriminant ∆. P(x) prend toujours le signe de a sauf si ∆ > 0, et que x est compris entre les deux racines, alors il prend le signe de –a. C] Factorisation d'un polynôme du second degré Soit le polynôme P(x) = ax² + bx + c. Pour déterminer la factorisation de P(x), il faut là encore calculer le discriminant ∆. Si ∆ < 0 pas de factorisation sauf si évidente… Si ∆ = 0 alors P(x) = a(x + b 2 2a ) Si ∆ > 0 et si les deux acines sont x' et x" alors P(x) = a(x – x')(x – x") IV] Propriétés

CQP 099 - Mathématiques de base - Chapitre 3 Factorisation de polynômes et fractions algébriquesCQP 099 - Mathématiques de base Chapitre 3 Factorisation de polynômes et fractions algébriques Olivier Godin Université de Sherbrooke 14 août 2018 Chapitre 3 - Factorisation de polynômes et fractions algébriques 1 / 60Introdution La première partie du chapitre est consacrée aux différentes de méthodes de factorisation. La factorisation de polynômes est très utile pour simplifier les résultats obtenus

s’identifie avec la troisième identité remar- quable avec : a = x ; b = 4 On a la factorisation : x2 − 16 = ( x+ 4 )( x− 4 ) b. On a l’égalité suivante : x2 − 10x+ 25 = x2 − 10x+ 52 Par identification avec la seconde identité remarquable, on choisit : a = x ; b = 5 Ainsi, le terme du double-produit doit avoir pour valeur : −2×a×b = −2×x×5 = −10x Ce double-produit correspond au terme en “x” de l’expression. On en déduit la factorisation : x2 − 10x+ 25 = (x− 5)2 c. L’expression x2−2x+1 s’identifie à la seconde