Factorisation

résoudre l’équation x2 − 2x − 1 = 0. On a ∆ = (−2)2 − 4 × −1 = 8, d’où les racines de x2 − 2x − 1 ; ce sont √ √ √ 2+ 8 =1+ 2 et x = 1 − 2. x = 2 La liste de toutes les solutions de l’équations Q(x) = 0 est donc √ √ {1 − 2 ; 1 + 2 ; 4}, et on a la factorisation Q(x) = (x − 4)(x − 1 + √ 2)(x − 1 − √ 2) 2 Équations du troisième degré www.mathforu.com Exemple 3. Soit l’équation (3) x3 + x2 − 4x + 6 = 0, dont on cherche toutes les solutions. On pose R(x) = x3 + x2 − 4x + 6. Une racine évidente de R

Résoudre une équation par : 6 reformulation sous la forme e! = e" 7 1. comparaison à 0 2. factorisation 3. emploi d’un produit nul 8 1. reformulation f(x) = 0 2. recherche de solutions évidentes 3. emploi du sens de variation 4 5) Inéquations Résoudre une inéquation par : 9 Reformulation sous la forme e! < e" 104 1. comparaison à 0 2. factorisation 3. emploi d’un tableau de signe 11 1. reformulation f(x) < 0 2. solutions à f(x) = 0

b = 1. b Par ´l´vation au carr´, on trouve mb2 = a2 . Soit p l’un des ´l´ments de l’ensemble E. ee e ee L’entier premier p est un diviseur de m (dans la factorisation de m, il a l’exposant 1.) Dans la factorisation de mb2 , l’entier premier p a n´cessairement un exposant impair. e Mais il a un exposant pair dans la factorisation de a2 . L’´galit´ mb2 = a2 est donc absurde. e e On a ainsi d´montr´ que pour toute partie non vide E de P, le r´el ΠE est irrationnel. [ Q ] e e e 2. Tout

𝑖) − 𝑃𝑖 Développement : −𝜏𝑥𝑖−1,𝑖 + 𝜏𝑙𝑖−1 − 𝑃𝑖−1 = −𝜏𝑙𝑖−1 + 𝜏𝑥𝑖−1,𝑖 − 𝑃𝑖 Factorisation : 2𝜏𝑥𝑖−1,𝑖 = 𝜏(𝑙𝑖−1 + 𝑙𝑖) + 𝑃𝑖 − 𝑃𝑖−1 𝒙𝒊−𝟏,𝒊 = 𝝉(𝒍𝒊−𝟏 + 𝒍𝒊)

i = k + 1, . . . , n. A la n de ce procédé, les éléments de la matrice U sont dénis par (i) uij = aij , tandis que les éléments de la matrice L sont les termes lij engendrés par l'algorithme de Gauss. Le coût de cette méthode de factorisation est de l'ordre de 2n3 /3 ops. En fait, pour passer de A(k) à A(k+1) on modie touts les elements de A(k) sauf les premières k lignes et les premières k colonnes, qui ne changent 6 pas ; pour chaque élément de A(k+1) il faut faire une multiplication

4) = (4a + 8a) + (6 + 12) = 12a + 18 Les Nombres premiers et la factorisation Un nombre premier est un nombre > 1 qui est seulement divisible par lui-même et par 1. Par exemple, 5 est un nombre premier puisqu’on peut seulement le diviser par 5 ou par 1. Si on le divise par autre chose, on obtiendra un nombre rationnel. Voici un ensemble contenant plusieurs nombre premier. {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, …} La factorisation d’un nombre est le produit de tous ses facteurs. Un facteur est un

résoudre l’équation x2 − 2x − 1 = 0. On a ∆ = (−2)2 − 4 × −1 = 8, d’où les racines de x2 − 2x − 1 ; ce sont √ √ √ 2+ 8 =1+ 2 et x = 1 − 2. x = 2 La liste de toutes les solutions de l’équations Q(x) = 0 est donc √ √ {1 − 2 ; 1 + 2 ; 4}, et on a la factorisation Q(x) = (x − 4)(x − 1 + 2 √ 2)(x − 1 − √ 2) Équations du troisième degré www.mathforu.com Exemple 3. Soit l’équation (3) x3 + x2 − 4x + 6 = 0, dont on cherche toutes les solutions. On pose R(x) = x3 + x2 − 4x + 6. Une racine évidente

alors vous pouvez conclure que la limite "tout court" existe 1.3 Lever l'indétermination par factorisation Soit la fonction f(x) suivante On vous demande de calculer la limite de cette fonction pour x tendant vers 4. CORRECTION Nous obtenons la forme indéterminée 0/0. Pour lever cette indétermination nous pourrions utiliser la règle de l'Hôpital. Cependant je vous propose d'utiliser la factorisation par identité remarquable histoire de varier les plaisirs (tableau récapitulatif des techniques

la méthode de Cholesky : Cette méthode s'applique uniquement aux matrices symétriques définies positifs et permet la factorisation unique A= RRT où R est une matrice triangulaire inférieure. Théorème : Soit A une matrice symétrique inversible, alors A est définie positive si et seulement s'il existe une matrice R tels que A=RRT, de plus si Rii > 0 ∀ i=1,2,…,n alors la factorisation est unique. Construction de R par la méthode de Cholesky: R11= a11 ,Pour i de 2 à n. , pour j de i+1 à n. Page

paragraphe sur les polynômes. Développer une expression expand(expr) Développer une expression en regroupant les termes par rapport à une variable expand(expr, Factoriser une expression dans  (coefficients rationnels) Factorisation complète dans  factor(expr) Factorisation dans  coefficients rationnels complète Touches b33 var) Touches b32 ( b3A2) factor(expr, var) cFactor(expr) cFactor(expr, var) Réduire au même dénominateur comDenom(expr) Valeur d’une expression en un point Touche