Factorisation

une factorisation faisant intervenir des termes non rationnels (on a, pour x 2  3 , des racines carrées qui ne se simplifient pas), il est nécessaire de demander la factorisation sous la forme factor(expression, variable) C’est ce que nous avons fait dans le deuxième écran. De la même façon, il est indispensable de savoir que factor et zeros ne cherchent que les racines réelles, même si on est en mode complexe. Il faut impérativement utiliser cFactor pour obtenir une factorisation complexe

appartient à la courbe représentative de f . g(2) = √ 49 = 7 donc P (2 ; 7) appartient à la courbe représentative de g. b) Intersections des 2 courbes : x2 + 3 = √ 20x+ 9 | au carré ⇒ x4 + 6x2 + 9 = 20x+ 9 ⇔ x4 + 6x2 − 20x = 0 ⇔ x (x3 + 6x− 20) = 0 | factorisation par Horner ⇔ x (x− 2) (x2 + 2x+ 10) = 0 | ∆ < 0 Schéma de Horner : 1 0 6 −20 ·2 ↓ 2 4 20 1 2 10 0 Il y a donc 2 points d’intersections d’abscisses 0 et 2. I = π ∫ 2 0 ( f 2(x)− g2(x) ) dx = π ∫ 2 0 ( x4 + 6x2 − 20x ) dx = π [ 1 5 x5 + 2x3 −

noms l’indiquent ces formules permettent de faire des additions et des soustractions entre des angles. Ex : Formules de Simpson : Ces formules permettent le développement et/ou la factorisation d’une équation trigonométrique. Ex : Développement Factorisation -La trigonométrie Sphérique : La trigonométrie sphérique est similaire à la trigonométrie euclidienne mais cette première porte sur des angles et distances repérés sur une sphère. Les règles de

. . . . . . . . . 43 e L’algorithme LLL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 La m´thode de Coppersmith : polynˆmes a une variable e o ` . . . 59 Cryptanalyse de RSA par la r´duction des r´seaux . . . . . . . . . . . 59 e e Factorisation de N . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 73 Pr´face e Si vous enseignez a un homme, vous n’enseignez qu’` une ` a personne. Si vous enseignez ` une femme, vous enseignez ` toute a a une famille. La cryptographie moderne est

2 3+ 2 = = = 5–1 4 5+1 ( 5 + 1 ) × ( 5 – 1) On multiplie le dénominateur et le numérateur par 5 – 1. On obtient ainsi une forme que l’on connaît bien : (a + b) (a – b) b)Factorisations 2 En utilisant le fait que pour tout nombre positif b on a ( b) = b , on effectue des factorisations : A = 2x2 + 6 2 x + 9 = ( 2x)2 + 2 × 3 2 x + 32 = ( 2 x + 3 )2 B = x2 – 5 = x2 – ( 5)2 = ( x – 5 ) ( x + 5 ) Exemples similaires sans racine : A’ = 4x2 + 4x + 1 = ( 2x + 1 )2

les polynômes. Développer une expression Développer une expression en regroupant les termes par rapport à une variable expand(expr) Touches b33 var) expand(expr, Factoriser une expression dans  (coefficients rationnels) Factorisation complète dans  Factorisation dans  coefficients rationnels complète factor(expr) Touches b32 ( b3A2) factor(expr, var) cFactor(expr) cFactor(expr, var) Réduire au même dénominateur comDenom(expr) Touches b374 Valeur d’une expression

entier fixé appelé l’exposant R.S.A. Le couple (n,e)constitue la clé publique. L’opération inverse qui permet le déchiffrement est aussi une exponentiation, mais le calcul de l’exposant correspondant, gardé secret nécessite la connaissance de la factorisation de n. Or on sait qu’un nombre premier n’admet d’autre diviseur que 1 et lui-même ; la suite des nombres premiers est infinie et commence par 2,3,5,7, etc. Tout nombre s’écrit comme produit p et q. Le problème de recouvrer p et q à partir de la

Mathématique : quelques exercices de révisions Factorisation et fractions algébriques 1. Factorise au maximum. a)  ²153 xx b)  64²25x c)  2510² xx d)  xx 48³3 e)  103² xx f)  88²2 xx g)  25³ xx h)  814x i) 12 9 4 ²x x    j)      2423 xxx k)      xxx 2332²4 2. Pose les CE et simplifie les fractions suivantes : a) 3 3 ² x x x   b) 1 6 9 ² 1 9 ² x x x     c) 4 ² 16 x x    3. Effectue les opérations suivantes (on

(3x +1) ⇔ mAD = (5x + 2) 1- AEGFB = L i l AEGFB = mEB imBF x2 + 3x +1= mEB imBF ⇔ (x + 2)(x +1) = mEB imBF ∴mEB = (x + 2)m ∧ mBF = (x +1)m car la longueur est plus grande que la largeur. 4e cas de factorisation x2 + 3x + 2 P = 2 = (x + 2)(x +1) S = 3 Restriction 3x +1≠ 0 ⇔ 3x ≠ -1 ⇔ x ≠ -1 3 Mesure du segment AD !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

sur la factorisation >>> Cours de troisième 2 - Factorisation Factoriser une expression : Tu sais que , autrement dit que . Factoriser, c'est partir de et écrire . Quelques exemples à comprendre: Un peu plus long mais tout aussi important: Pour t'aider tu peux souligner le terme par lequel on factorise, comme ci dessus en orange. On peut aussi factoriser certaines expressions en utilisant la 3ème identité remarquable "à l'envers" : C'est également une factorisation car le