Factorisation

de θ. Cela peut se traduire par la formule suivante: \mathbb{P}(X=x|S(X)=s,\theta) = \mathbb{P}(X=x|S(X)=s), \, Cette définition n'étant pas forcément très simple à manier en pratique on préfère souvent utiliser la caractérisation de factorisation des statistiques exhaustives. Ces statistiques exhaustives sont particulièrement importantes car fournissent toute l'information qu'il est possible de récupérer sur le paramètre à partir d'une série d'observations. Une statistique exhaustive apporte

2(1)2 + 3(1) − 5 = 0. Remarque : Chercher les racines du trinôme ax2 + bx + c, revient à résoudre dans R l’équation ax2 + bx + c = 0. 2 Factorisation, racines et signe du trinôme : DÉFINITION On appelle discriminant du trinôme ax2 + bx + c (a = 0), le réel ∆ = b2 − 4ac. 2-1 Si ∆ < 0 : Racines : Pas de racines réelles. Factorisation : Pas de factorisation dans R. Signe : ax2 + bx + c est toujours du signe de a. x ax²+bx+c y a>0 −∝ Signe de a +∝ O x a0 x1 x a 0 :

se factorise en * en un produit de facteurs du premier degré. Ceci est admis. On conçoit que si une factorisation était possible, alors le trinôme aurait au moins une racine. Exemples Si Si Si ne peut pas être factorisé * Chapitre 8 Le second degré 11 Exercice Méthode de factorisation alternative Factoriser sans utiliser le discriminant:

3X 2 + 2X + 3. Trouver les coefficients de Bézout U, V . Mêmes questions avec A = X 5 − 1 et B = X 4 + X + 1. 5. Montrer que si AU + BV = 1 avec degU < deg B et deg V < deg A alors les polynômes U, V sont uniques. 3. Racine d’un polynôme, factorisation 3.1. Racines d’un polynôme 9 Définition 5 Soit P = a n X n + a n−1 X n−1 + · · · + a 1 X + a 0 ∈ K[X ]. Pour un élément x ∈ K, on note P(x) = a n x n + · · · + a 1 x + a 0 . On associe ainsi au polynôme P une fonction polynôme (que l’on

3a2b + 3ab2 b3 a3 b3 = (a b)(a2 + ab + b2) a3 b3 = (a b)(a2 ab + b2) (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac Exercice 11 : Démontrer chacune de ces égalités Exercice 12 : On donne Calculer et       JEUDI 1ère semaine Factorisation Factorisations simples Exemples :     Lorsqu il faut changer un signe Dans l’exemple ci-dessous, on voit les facteurs (5x – 2) et (2 – 5x). Ces facteurs sont opposés l’un de l’autre. On peut remplacer l’un des facteurs par son opposé à condition

x 2 - 9. EXERCICE 2: « Développement » Développer, réduire et ordonner chacune des expressions suivantes. A(x) = (2 x - 1) (4 x + 3) + 2(5 x - 3) (5 x + 3) ; B(x) = (3 x - 1)2 - 2 (3 x - 1) (x + 5) + (5 + x) 2. EXERCICE 3: « Factorisation » Factoriser chacune des expressions suivantes. A(x) = (7x- 1)(4 x-2)-(1–7 x)(3x -1) ; B(x) = 9 x 2 -1 – (6 x + 2)(9 x –1) ; C(x) =4(4 x –1)2- 9(3 x+2)2. EXERCICE 4: Au BFEM du 2ND groupe Répondre par vrai ou faux en justifiant la

5x2 − 7x + 3 · (x − 2)2 → − − → On désigne par C la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (O ; i , j ) (unité graphique : 1 cm). 1. On considère le polynôme P défini par P (x) = −x3 + 6x2 − 13x + 8. Calculer P (1). En déduire une factorisation de P puis étudier son signe sur IR. P (x) · 2. Montrer que, pour tout x ̸= 2, f ′ (x) = (x − 2)3 3. Étudier les variations de f . 4. Soit ∆ la droite d’équation y = −x + 1. a) Étudier la position relative de C et ∆. b) Démontrer que C admet une

2 3 2 Racines du trinôme 2.1 Définition . . . . . . . . . 2.2 Le discriminant est positif 2.3 Le discriminant est nul . . 2.4 Le discriminant est négatif 2.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . 4 4 5 5 6 6 3 Factorisation du trinôme, somme et produit des racines 3.1 Factorisation du trinôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Somme et produit des racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2)²  (3 - x)² c) 3x²  –1 d) 9 – 6x + x²  2x – 6 THÉORÈME ET RÈGLES SUR LE TRINÔME Soit le trinôme ax² + bx + c si  < 0 si  = 0 avec a  0 et  = b² - 4ac si  > 0 Position de la parabole Théorème des racines du trinôme Règle de factorisation du trinôme Règle du signe du trinôme Forme canonique du trinôme Le trinôme Le trinôme admet 2 admet 1 racine racines distinctes double b   -b+  b x  et x= x0 = 2a 2a 2a Le trinôme se Le trinôme Le trinôme se factorise factorise sous

3 En utilisant la factorisation, résoudre les équations suivantes: 1) 2 2 (2 x+1) −4 x =0 2 2 x +4=4 x 2) 2 3) 2 (2 x+1) −(2 x) =0 x +4−4 x=0 (2 x+1−2 x )(2 x +1+2 x)=0 1×(4 x+1)=0 4 x +1=0 −1 x= 4 ( x −2) =0 x−2=0 x=2 3 3 2 2 2 x +x +1=( x+1) 2 2 2 x +x +1= x +2 x+1 3 2 2 2 2 x +x +1− x −2 x−1=0 3 2 x −2 x=0 2 2 x ( x −1)=0 2 soit 2 x=0 soit x −1=0 Exercice 4 x=0 , 1 ou−1 En utilisant la factorisation, simplifier les fractions