Factorisation

résolution directe par élimination de Gauss et même par factorisation de Cholesky – QR (Householder) et SVD factorisations pour la résolution des équations normales – Matlab anti-slash opérateur – SVD plus robuste que Householder, mais beaucoup plus cher La solution de norme minimale à Ax = b est donnée par x = A+ b, où la pseudoinverse de la matrice A de dimension m × n, avec m > n, est définie par −1 T A+ = AT A A . La factorisation SVD de A est A = U ΣV T où U est une matrice orthogonale

: Dans certains cas, il n'est pas nécessaire de calculer le discriminant pour vérifier si une telle équation admet des solutions. Si a et c sont de signe opposés, alors il existe une solution. 3) Factorisation de a x ² + b x + c Théorème : • Si Δ < 0 , le polynôme a x 2+ b x+ c n'a pas de factorisation possible • Si Δ =0 , a x 2+ b x+ c=a( x−x 0 )2 où x 0 est la racine double • Si Δ > 0 , a x 2+ b x+ c=a( x−x 1 )( x−x 2) où x 1 et x 2 sont les deux solutions Exemples : Factoriser • x 2−3 • 3 x

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 Équations du second degré 4 2.1 Discriminant – Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.2 Factorisation d’un trinôme du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3 Inéquations du second degré 5 3.1 Étude préliminaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 Équations du second degré 4 2.1 Discriminant – Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.2 Factorisation d’un trinôme du second degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3 Inéquations du second degré 5 3.1 Étude préliminaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3

  -b-  et 2a -b+  . 2a b . 2a Si  < 0 alors le trinôme ax 2 + bx + c ne se factorise pas. Si  = 0 alors ax 2 + bx + c = a  x - x 0  avec x 0 = 2 Démonstration : D’après la démonstration du Théorème, on peut déterminer les cas où la factorisation du trinôme est possible.  b   b  + x +  Si  > 0 alors f  x  = a  x +   = a  x - x1  x - x 2  .  2a 2a 2a 2a    2   b  2  Si  = 0 alors f  x  = a  x +  = a  x - x0  . 2a   2  b    2 Si  < 0 alors f

courant. Au cours d'un log simulé Cwnlat doit résoudre plusieurs fois le même problème, ce qui est lourd en temps de calcul. L'étude menée dans ce stage a permis d'optimiser le temps de calcul de Cwnlat en appliquant une méthode de factorisation. La méthode de factorisation permet d'eectuer les calculs sur un sous-domaine xe qui contient l'ensemble des positions de la sonde en déterminant des conditions aux limites sur le bord du sous-domaine qui résument exactement le comportement de la solution

2 6 2 7 1 1  9 3 .2 .6 .1 12 V – Racines d’un polynômes – factorisation d’un polynôme  1 – racine d’un polynôme  Définition  On dit qu’un réel    est une racine ou un zéro d’un polynôme f si  0  Exemple :  5 14 Soit  4 14 4 16 5 8 14 une racine (ou un zéro) de f  9 14 on a  2 4 2 4 18 14 64 40 56 5 2 32 96 14 2 9 2 96 0 donc ‐2 est  2 – factorisation d’un polynôme  Définition  Soit P et Q deux polynômes. On dit que le polynôme P est factorisable par le polynôme Q s’il existe 

bx + c, revient à résoudre dans R l’équation ax2 + bx + c = 0. 2 Factorisation, racines et signe du trinôme : DÉFINITION On appelle discriminant du trinôme ax2 + bx + c (a = 0), le réel ∆ = b2 − 4ac. 2-1 Si ∆ < 0 : Racines : Pas de racines réelles. Factorisation : Pas de factorisation dans R. Signe : ax2 + bx + c est toujours du signe de a. −∝ x ax²+bx+c +∝ Signe de a y a>0 O x a<0 2-2 Si ∆ = 0 : b . 2a 2 2 Factorisation : Pour tout x, ax + bx + c = a(x − x1 ) . Signe : ax2 + bx + c est

de leçon Précédant C-1a résoudre des équations quadratiques et rattacher les solutions aux zéros d'une fonction quadratique correspondante à l'aide de la · Représentation graphique · Formule quadratique · Factorisation C-1b résoudre des équations non linéaires · Par factorisation · Graphiquement · Graphiquement avec une fonction intégrée de la calculatrice à affichage graphique [zéros, intersection, résolveur d'équations] C-2 déterminer la nature des racines réelles et non réelles d’une

( ) III) Equation ax 2 + bx + c = 0 , factorisation du polynôme ax2 + bx + c Théorème : Soit le polynôme ax 2 + bx + c , a ' 0 de discriminant ∆ = b 2 − 4ac . Signe de ∆ Résolution de l’équation ax 2 + bx + c = 0 . L'équation n'a pas de solution. On dit que le trinôme n'a pas de racine. L’équation admet une seule b solution x0 = − . 2a On dit que le trinôme a une seule racine dite double. L’équation admet 2 solutions distinctes ∆>0 Factorisation du trinôme ax 2 + bx + c ∆