Factorisation

MATHEMATIQUES Fichier .pdf du cours en vid´o du mˆme nom e e Les ´quations du second degr´ e e Factorisation Ce cours porte exclusivement sur la notion de factorisation relative aux ´quations du second degr´. e e 1 L’id´e g´n´rale e e e Une ´quation du second degr´ a une inconnue x est une ´quation de la e e` e forme ax2 + bx + c = 0, o` a ∈ R , b ∈ R et c ∈ R. u 2 2.1 La th´orie e La factorisation Soit l’´quation du second degr´ ax2 + bx + c = 0, o` a ∈ R , b ∈ R et e e u c ∈ R. Cette

Principe de la complétion de carrée La complétion de carrée est une méthode de factorisation de trinôme de second degré. Elle s’utilise lorsque le trinôme en question n’est pas factorisable par la méthode de somme produit. Prenons l’exemple suivant : x2+6x-32 Ce trinôme est infactorisable (ne peut pas être factorisé) par somme-produit. Nous utiliserons donc la complétion de carré pour réussir à mettre en deux facteurs le trinôme ci-dessus. Le but de la complétion de carrée est d’en fait, créer

(a+b)²= a²+2ab + b²(a-b)²= a²-2ab +b²(a-b)(a+b)= a²-b²Démonstration.Exercice 1 lire Développer une expression page 97 et faire les exercices numéros 1 et 2 page 97N°31 ;32 ;33 ;34 ;35 page 100II FactorisationsII Factorisation1 Factorisation de type 1Propriété 1Cette factorisation est basée sur la propriété de distributivité A × (B + C) = A × B + A × CMéthode 1• Étape 1 : Identifier les termes de la somme (ou de la différence) et le signe entre les termes.• Étape 2 : Faire apparaitre :– le facteur

le cas d’une limite r´flexe, donner la valeur de la limite. e x2 + 2 lim x→2 x + 1 = 6 3 2 ⊠ r´flexe e factorisation simplification r`gle de l’Hospital e Question 25 Voici une limite : indiquer son type et cocher la m´thode qui permet de la calculer. e Dans le cas d’une limite r´flexe, donner la valeur de la limite. e x2 + 2 lim x→−1 x + 1 = 3 0 ±∞ ⊠ r´flexe e factorisation simplification r`gle de l’Hospital e Version 1.00 page 7 S. Perret Lyc´e cantonal de Porrentruy

de résolution de système linéaire : la décomposition LU. L’objectif est de mettre A sous la forme d’un produit d’une matrice triangulaire inférieure L à diagonale unité par une matrice triangulaire supérieure U. Soit une matrice de taille . La factorisation , consiste, pour une matrice , à déterminer une matrice triangulaire inférieure à diagonale unité et une matrice triangulaire supérieure tel que avec et Résolution de système Pour la résolution de système linéaire de la forme :, le système

sp´cification . . . . . . . . . . . . . e e 4.2.8 Motivation du choix d’un mod`le flot de donn´es . . . . . e e 4.3 Mod`le de sp´cification AAA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e e 4.3.1 Factorisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Factorisation finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Factorisation infinie et sommet retard . . . . . . . . . . . 4.3.2 Conditionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Arc de d´pendance de donn´e de conditionnement . . . . e e Sommet

valeur absolue est inférieure à la précision machine ε, alors on arrête en disant que la matrice n’est pas inversible à ε près (test d’inversibilité informatique). Cependant, elle peut très bien être inversible du point de vue mathématique ! Factorisation A=LU Soit A une matrice régulière, de dimension n. Lien avec la méthode de Gauss On applique la méthode de Gauss sans pivoter. U est une matrice triangulaire supérieure réelle, telle que k =1, n ∏J k A =U . 1    1    α  avec

photocopie non autorisée est un délit. Chapitre 6 y 2 1 J 0 O0 –1 –2 – 3 – 4 – 5 – 6 – 7 – 8 – 9 – 10 – 11 b) Δ = 0. I 1 2 3 4 5 6 7 8 x • Puisque Δ = 0, 2x2 – 2x + 0,5 = 0 a une seule solution : –2 x0 = – = 0,5. 2×2 • Factorisation du trinôme : 2x2 – 2x + 0,5 = 2(x – 0,5)2. • Contrôle visuel : y y = g(x) J y = f(x) I O x 2. Équations du second degré Activité 1. 2[(x + 1)2 – 36] = 2[(x2 + 2x + 1) – 36] = 2x2 + 4x – 70 = f(x). c) Δ = – 23. • Puisque Δ < 0,

polynômes suivant les puissances décroissantes (Euclidienne) 6. Division Euclidienne par un polynôme de degré 1 7. Division de deux polynômes suivant les puissances croissantes (division non Euclidienne) III. FACTORISATION D'UN POLYNOME 1. Définition 2. Factorisation dans C 3. Factorisation dans R 4. Utilisation de la décomposition d'un polynôme IV. COMPLEMENT : RESOLUTION D'UNE EQUATION DU 3ème DEGRE A COEFFICIENTS REELS 1. Forme générale 2. Nombre de racines réelles 40 POLYNOMES – EQUATIONS

B < d ° A . Dans C[ X ] , les seuls polynômes irréductibles sont de degré 1. Dans R[ X ] , les seuls polynômes irréductibles sont les polynômes de degré 1 et les polynômes de degré 2 avec ∆ < 0 . Factorisation d’un polynôme non constant Dans C[ X ] , tout polynôme P non constant admet une factorisation de la forme : P( X ) = a∏ ( X − αk )mk où a est le coefficient dominant de P et où les α k sont toutes les racines complexes distinctes de P avec leur ordre de multiplicité mk . Si P ∈R[ X ] , ses