Factorisation

littérales pour des calculs numériques ; – utilisation du calcul littéral dans la mise en équation et la résolution de problèmes. Les activités viseront à assurer la maîtrise du développement d’expressions simples ; en revanche, le travail sur la factorisation qui se poursuivra au lycée, ne vise à développer l’autonomie des élèves que dans des situations très simples. On consolidera les compétences en matière de calcul sur les puissances, notamment sur les puissances de 10. 1 Développer un produit

cette suite correspondent à une suite en progression géométrique et nous obtenons ainsi : D’où en factorisant par S, nous avons : S[(1+i)-1]= Soit, Ainsi la formule de est la somme de S et de l’expression , soit : Soit, après factorisation : Exemple Etablir la valeur acquise d’une suite de 20 annuités variables en progression arithmétique, sachant que la première annuité a pour valeur 1000€ de raison 100 et de taux 12%. Dans cet exercice nous utilisons directement la formule

2 2 4 0E x x   ( ''') : 2 2 4 0E x x   Soit ( ) ²p x ax bx c   un trinôme du second degré tels que ,a b et c des réels et 0a  et soit  son discriminant. On a les cas suivants: • Si 0 , alors le polynôme ( )p x n’admet pas de factorisation dans . • Si 0  , alors : 2 ( ) 2 b p x a x a        . • Si 0 , alors :   1 2( )p x a x x x x   tels que : 1 2 2 2 b b x et x a a         . Factoriser, si possible, les polynômes suivants : 1( ) 2 ² 2 12P x x x

restes des divisions euclidiennes de A par X − a et X − b. Calculer le reste de la division euclidienne de A par (X − a)(X − b) en fonction de λ et µ. d) Trouver le reste de la division euclidienne de P (X) = (X sin(α) + cos(α))n par X 2 + 1. Factorisation Exercice 26. Factoriser le polynˆme : o n k=0 n sin(kθ)X k k Exercice 27. Trouver les racines du polynˆme (X +1)n −1, en d´duire la valeur du produit : o e n−1 sin( k=1 kπ ) n Exercice 28. Trouver λ pour que X 3 +X 2 +λX+3

il suffit de changer l’expression de la fonction (pour pouvoir éliminer le facteur « annulant », soit ici x – 3) : …= lim (x + 3) = 6 (x2 – 9 = (x + 3)(x – 3)) x →3 ► À SAVOIR Ce problème peut se poser sans que l’on puisse procéder à la factorisation qui « sauve » : Exemple : lim sin x ? On fera dans ce cas appel aux résultats sur les nombres dérivés ( cf. Fiche 3) : x→0 x sin x − sin 0 … = lim = sin' (0) = cos 0 = 1 x →0 x−0 • 0 × ∞ : cette FI est parfois rencontrée pour des fonctions de terminale

de solution car le carré de tout nombre réel est positif. • Si k = 0, on obtient x2 = 0 ⇔ x × x = 0 ⇔ x = 0. Il n’y a donc qu’une seule solution : x = 0. • Si k > 0 alors = ( )2k k . L’équation est alors équivalente à x – ( ) = 02 2k . Par factorisation en utilisant l’identité remarquable a2 – b2 = (a + b)(a – b), on obtient : x2 = k (x + k )(x – k ) = 0 ⇔ x + = 0k ou x – = 0k ⇔ x = – k ou x = k . Donc si k > 0, l’équation x2 = k a deux solutions : x = k et x = – k . Exemples 1 x x=

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.8 Analyse : graphe de la dérivée d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.9 Analyse : dérivée et équation de la tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.10 Analyse : factorisation de dérivées (avec les règles) . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.11 Analyse : la règle de l’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.12 Analyse : comportement des fonctions irrationnelles . . . . . . . . . . . . . . . 15

eix Valeurs particulières : eiπ/2 = i, eiπ = −1, ei3π/2 = −i, eiπ/4 √ 1 1 1 3 = √ (1 + i), e3iπ/4 = √ (−1 + i), ei2π/3 = j = − + i 2 2 2 2 Le résultat suivant est très important, et il sera illustré géométriquement en 3.4.2. Proposition 3.3.3 (factorisation de eix + 1 et de eix − 1) x ix/2 x ix/2 e , et eix − 1 = 2 i sin e Pour tout réel x, on a : eix + 1 = 2 cos 2 2 3.3.3 Premières propriétés des fonctions x → sin x et x → cos x On rappelle qu’on a défini x → cos x et x → sin x par l’égalité eix

: Réponses B A 1 2 Quelle expression est égale à 6 si on choisit la valeur x = − 1 ? Le développement de (x + 3)(2x + 4) − 2(5x + 6) est : − 3x 2 C 2 6(x + 1) 5x + 1 2x2 2x2 + 20x + 24 2x2 + 24 3 La factorisation de 9x2 − 16 est : (3x – 4)2 (3x + 4)(3x – 4) (3x + 4)2 4 Les solutions de l'équation (x − 5)(3x + 4) = 0 sont : 4 et 5 3 4 − et 5 3 4 et − 5 3 1. 5 × (− 1)2 + 1 = 5 × 1 + 1 = 6 Remarque : pour – 3x2 on obtient

List<Etudiant> l=new ArrayList<Etudiant>(); Etudiant e=new Etudiant(); l.add(e); l.add(new Point()) //rejeté à la compilation! ... for (Iterator<Etudiant> it =l.iterator<Etudiant>(); it.hasNext();){ (it.next()).affiche(); // casting inutile } Intérêt: – factorisation du code – moins de casting (code plus lisible et facile à écrire) – contrôle de type à la compilation – moins de risques d'erreurs de casting à l'exécution 6 Les « nouvelles » classes de collections  Interfaces et classes ont été remplacées