Factorisation

si, les polynômes ont même degré et les coefficients de leurs termes de même degré sont égaux. Exemple. Cas du second degré : pour tout x de R, ax 2 + bx + c = a ′ x 2 + b ′ x + c ′ ⇐⇒   ′   a = a ′ b=b     c = c′ 3 Exemples 3.1 Factorisation d’un polynôme Soit f la fonction définie sur R par f (x) = x 3 − 2x 2 + 3x − 2. Déterminer les réels a, b et c tels que, pour tout x de R, on ait : f (x) = (x − 1)(ax 2 + bx + c). Réponse : pour tout x de R : f (x) = (x − 1)(ax 2 + bx + c) ⇐⇒ On

avons a × b = 0, alors a = 0 ou b = 0. Méthode ■ Résoudre une équation simple Résoudre les équations suivantes : • 3x + 1 = 0 ; • 5x = 0 ; 3x − 8 7 x = + 9. 5 10 • 5 − 2 ( −2x + 3) + ⎡ 4 − 2 ( x + 2) ⎤ = 9 ; ⎣ ⎦ CONSEILS • Si aucune factorisation n’est possible, alors il peut être utile de développer les produits dans les deux membres. • Regrouper les termes relatifs à l’inconnue dans un membre et les termes connus dans l’autre membre. • Simplifier afin d’obtenir une équation de la forme

.......................................................... 44 Partie 2 : Niveau 5° ........................................................................................................................... 45 Priorités, développements et factorisations .................................................................................................................... 45 Les priorités de calcul .................................................................................................

propriétés mathématiques sont des éléments très important dans les exercices et sont très présents dans les examens du gymnase. Plus vous savez de propriétés, plus vous aurez de la simplicité dans les exercices (surtout en simplification et en factorisation). Mais ici aussi, il n'y a pas de miracles, il faut les apprendre (tout comme du vocabulaire ou une poésie). Bien évidemment, il y en a une infinité de propriétés mathématiques (ou pas) mais toutes les apprendre ne seraient pas nécessaires. C'est

Contents 1 G´n´ralit´s e e e 1.1 Matrices et applications lin´aires . . . . . . . . . . . . . e 1.2 Le calcul matriciel par blocs . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Le compl´ment de Schur ; ses factorisations associ´es e e 1.4 Les matrices triangulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Noyaux, images et rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Quelques aspects euclidiens . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Les matrices d´finies-positives (>>0) . . . . . . . . . . . e . . . . . .

mathématiques sur les expressions algébriques. Il est aussi possible de les réduire en termes plus simples. Les fiches suivantes portent sur ces différentes notions: Du monôme au polynôme Les opérations sur les expressions algébriques La factorisation d'un polynôme La simplification des fractions rationnelles La notion d'équation et la traduction d'un énoncé La notion d'inéquation et la traduction d'un énoncé Les méthodes générales de résolution d'équations La résolution d'équations et

x + 25 = 19 x 2 −11 x −17 Exercice 4 On considère l’expression E = 16 x 2 −25+(x +2)(4x +5). 1. Développer et réduire E. E= 16 x 2 −25 + 4 x 2 +5 x +8 x +10 = 20 x 2 −15 +13 x = 20 x 2 +13 x −15 2. Factoriser 16 x 2 −25, puis en déduire la factorisation de E. L´expression 16 x 2 -25 est une identité remarquable: a 2 − b2 = ( a + b ) ( a −b ) a 2 = 16 x 2 donc a = 4 x et b2 =25 donc b = 5 16 x 2 -25= ( 4 x + 5 ) ( 4 x −5 ) L´expression factorisée de E sera donc: E= ( 4 x + 5 ) ( 4 x −5 ) + (

Corrigé du Devoir maison n°3 3. f (x )=9−(2 x−5)² f f f f Partie I : 1. Développement : ( x )=9−( 2 x−5)² (x )=9−(4 x²−20 x+ 25) (x )=9−4 x² + 20 x−25 (x )=−4 x² + 20 x−16 f f f f f 2. Factorisation : ( x )=9−( 2 x−5)² (x )=3²−( 2 x−5) ² (x )=[3−( 2 x−5)][3+ (2 x−5)] (x )=[3−2 x+ 5][3+ 2 x −5] ( x )=(−2 x+ 8)(2 x−2) 4. 5. 3. lecture graphique 1. S = {1 ; 4 } 2. S = {2,5} 3. S = [1 ; 4] 4. Tableau de variations x –∞ 2,5 +∞ f ( x )=0 (−2 x+ 8)(2

evision des concepts de base 3.1 Les nombres r´eels et leurs propri´et´es . . . . . . . . . . . 3.1.1 Les puissances et les racines . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Les in´egalit´es et la valeur absolue . . . . . . . . . 3.2 Les polynˆomes et la factorisation . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 La diff´erence de carr´es et le carr´e parfait . . . . . 3.2.2 La diff´erence de cubes et le cube parfait . . . . . 3.2.3 La compl´etion du carr´e et la formule quadratique 3.2.4 La division polynomiale . .

12x + 4 x2 + 10x + 25 √ x2 + 2 5x + 5 Factoriser en deux ´tapes ` l’aide des identit´s remarquables e a e On consid`re le trinˆme suivant : x2 + 6x + 8. e o ´ – Ecrire ce trinˆme sous la forme (x + . . . )2 − (. . . )2 . o – En d´duire une factorisation du trinˆme. e o En utilisant cette technique, factoriser chacun des trinˆmes suivants : o x2 + 6x + 5 x2 + 4x + 1 x2 + 4x − 5 x2 − 6x + 7 4x2 + 4x − 3 4x2 − 4x − 4 Trouver la forme canonique d’un trinˆme du second degr´ o e On appelle forme