Factorisation

calculer le plus grand commun diviseur de deux nombres, connu sous le nom d'algorithme d'Euclide. L'algorithme d'Euclide est un algorithme permettant de déterminer le plus grand commun diviseur (P.G.C.D.) de deux entiers dont on ne connaît pas la factorisation. Il est déjà décrit dans le livre VII des Éléments d'Euclide.

reprenant A = X4 - 7X3 + 17X2 - 17X + 6 B = X2 - 5X + 4 et la division posée ci-dessus, on a : N = 3, Q1 = X2 ; Q2 = -2X et X3 = 3. Cas particulier : si R = 0, alors A = BQ, on dit alors que le polynôme B divise A. 3. Racine d'un polynôme et factorisation d'un polynôme 3.1. Définition On appelle racine réelle d'une fonction polynôme P (à coefficients réels) tout réel l tel que : P(l) = 0. Exemples : · Trouver les racines de la fonction polynôme P définie sur  par : P(x) = (x – 1)(x2 – x – 1). Il

b. Montrer que, pour tout entier naturel n impair, on a 3 ≡ 3 [4]. n c. En déduire que, s'il existe a et n vérifiant l'équation (E3), alors a est pair et n est pair. d. On pose n = 2p où p est un entier naturel, avec p ≥ 1. Déduire, d'une factorisation de 3 – a , que l'équation (E3) n'a pas de solution. n 2 

1) Développer et réduire A 2) Calculer A pour [pic] 3) Factoriser A. Réponses : [pic] [pic] [pic] EXERCICE 3: E= 25x² + 20x + 4 + (5x + 2)(x + 3) 1) Factoriser l’expression : H = 25x² + 20x + 4 2) En déduire une factorisation de E. 3) Développer et réduire E. 4) Calculer E pour [pic] Réponses : [pic] [pic] [pic] EXERCICE 4: 1) Développer : A = (2x + 1)(2x – 1) 2) Expliquer comment on peut utiliser la première question pour calculer :

si et seulement si leurs coefficients sont égaux. Th 2) a est racine de P si et seulement si [pic], avec deg(Q)=deg(P)-1. 4) Polynômes de degré 2. [pic], où a, b et c sont des réels fixés, alors que x est une variable. Factorisation : Si [pic] [pic]. Or, [pic], d’où, [pic] et finalement : [pic] . [pic] • Si [pic], alors [pic] • Si [pic], alors [pic] [pic] • [pic]. L’équation

si, pour z non nul, , soit : ou encore , c'est-à-dire . Donc: ou . Les points tels que M et I soient confondus sont les points d'affixes respectives i et -i. 3. b) . L'affixe de I est si, et seulement si: ssi . ssi (d'après la factorisation précédente), ssi Donc : ou . ou . Les points M tels que l'affixe de I soit sont les points d'affixes respectives et . 4. a) L'affixe de I est donné par : , soit . En posant avec ( ;) distincts de (0 ;0), nous obtenons : .

Analyse Complexe, de Fourier, Hilbertienne Cours de DEA, 1er semestre 2003-04 Jean-François Burnol version du 23 juin 2004 1. Résumé du cours. Mots-clés : Espaces de Hardy, factorisation, théorèmes de Beurling. Théorèmes de Wiener et de Paley-Wiener. Théorèmes de Beurling-Lax. Fonctions de Nevanlinna. Théorème de Kre˘ ın. 2. Énoncé et corrigé du devoir à la maison. 3. Énoncé et corrigé de l’examen. 4. Énoncé de l’examen de rattrapage. Ce résumé suit de très près le déroulement réel du cours, d’octobre

P (1), puis conclure ; 2. D´terminer Q(x) le quotient de la division Euclidienne de P (x) par (x2 − 1) ; e e e e e 3. V´rifier que 2 est racine de Q(x), puis factoriser Q(x) via la m´thode des coefficients ind´termin´s ; 4. En d´duire une factorisation en ´l´ments simples de P (x). e ee Bonne Chance 

conclure.      2ème méthode : les congruences  On étudie les valeurs possibles pour le reste dans la division euclidienne de  par 5.  Si   Si  donc   Si  donc   Si  donc   Si  donc   La conclusion est immédiate.      3ème méthode : factorisation de     Si  alors   Si  alors  alors   Si  alors  alors   Si  alors  alors   La conclusion en découle.      4ème méthode : on utilise le petit théorème de Fermat    Si , on a   Si  n'est pas congru à zéro (5) comme 5 est premier,  est

[pic] Un moyen mnémotechnique pour retenir : « Le cosinus est méchant : il ne sympathise pas avec les sinus, et de plus il change les signes » [pic] [pic] • Formules de Développement [pic][pic] [pic] • Formules de Factorisation [pic] [pic] [pic] [pic] • Formules de l'angle double Appelées aussi formules d'angle double, elles peuvent être obtenues en remplaçant a et b par x dans les formules d'addition et en utilisant le théorème de Pythagore pour