Factorisation

calcule [pic](à l'aide des formules du cours à savoir par cœur), puis [pic]. [pic]Si les opérations sur les fonctions ne donnent pas l'existence de [pic], on cherche la limite éventuelle de : [pic], en simplifiant au maximum [pic](à l'aide de factorisations). II. Tangente [pic]Retenir que [pic]est le coefficient directeur de la tangente à Cf au point M0 d'abscisse [pic]. [pic]Si [pic], pour tracer la tangente en M0 on porte a unités en hauteur et b unités horizontalement (dans le sens correspondant

) = ? 5 + ? 4 + ? 3 + ? 2 + ? + 1 En déduire sa factorisation dans ℂ[?] et dans ℝ[?]. Allez à : Correction exercice 4 Exercice 5. Soit ? = ? 7 + ? 6 + ? 5 + ? 4 + ? 3 + ? 2 + ? + 1 1. Factoriser ? dans ℂ[?]. 2. Factoriser ? dans ℝ[?]. 3. Factoriser ? dans ℚ[?]. Allez à : Correction exercice 5 Exercice 6. Déterminer les racines réelles et complexes du polynôme : 1 5 1 1 1 1 ? (? ) = ? + ?4 + ?3 + ?2 + ? + 1 32 16 8 4 2 En déduire sa factorisation dans ℂ[?] et dans ℝ[?]. Allez à : Correction exercice

cos r)] + ξ (sin i − sin r) Pour all´ger la r´daction de la suite, posons e e δ = a (sin i − sin r) − h (cos i + cos r) Le d´phasage entre les deux rayons est donc e ϕ = 2π ∆ kδ + αξ = 2π λ λ et α = (sin i − sin r) Question 3 : Retrouver la factorisation de la question 1 ` partir du principe de Huygens-Fresnel et a indiquer, sans calcul, les valeurs de sin r correspondant aux points particuliers des deux fonctions. On a droit ` une approximation l´gitim´e sur les cosinus. a e e Le principe de Huygens-Fresnel

courbe dans le plan muni d’un repère orthonormal (O, i , j ) d’unité 1cm. 1) f est-elle paire ou impaire? 2) Etudier le sens de variation de f sur [1,+∞[ et sur ]-∞,1]. 3) Montrer que f(x) peut s’écrire f ( x) = ( x − 1) 2 − 4 . En déduire une factorisation de f(x) et étudier le signe de f(x). 4) On désigne par A le point de coordonnées (1;-3). Donner les formules permettant de passer du repère (O, i , j ) au repère ( A, i , j ) . En déduire une équation de P dans ( A, i , j ) et la nature de

1èreES1 Le second degré Introduction à la factorisation Partie 1 : correction 1) Factoriser les expressions suivantes : x² - 8x + 16 x² + 6x + 9 ( 4x – 1 )² - 9 ( 2x – 1 )² - ( x + 3 )² 2) Après avoir factorisé, résoudre les équations suivantes : 2x² - 28x + 98 = 0 (5x + 2)² = ( x – 3 )² 4x² = 81 feuille n°1 16x² - 81 ( x + 5 )² - 16 ( x – 3 )² 9x² - 1 = ( 3x – 1 ) ( x + 2 ) Partie 2 : Vers la forme canonique 1) Compléter les égalités suivantes : x² - 6x + ……… = (x - ……)² x² + 4x + ……… = (

Note : /10 Date : /0 /2011 Mardi : Trinômes du second degré Remplir le tableau : f(x)= g(x)= h(x)= i(x)= j(x)= Fonctions …………………… …………………… …………………… …………………… …………………… Racines Factorisation 1 point par case à partir de la seconde ligne Fiche n° Note : /10

Alors y = f (x) avec x ∈ E. Décomposons x en x = u + v avec u ∈ G et v ∈ ker(f ). Alors y = f (x) = f (u) + f (v) = f (u) = g(u) avec u ∈ G, ce qui prouve bien que g est surjective. Ainsi, g définit un isomorphisme de G sur Im(f ). Exercice 2 - Factorisation d’une application linéaire surjective - L1/L2/Math Sup - 1. Soit y dans F . Alors, y = f ◦ g(y) = f (g(y)), et donc f est surjective. Remarquons que ceci ne dépend pas du tout du fait que les applications f et g sont linéaires. D’ailleurs, il

l'expression ax 2bxc . Le signe de l'expression ax 2bxc ne change pas suivant les valeurs de x ; c'est le signe du coefficient a. Signe de ax 2bxc toujours du signe de a pour tout x ∈ ℝ. Si Δ = 0 l'équation admet une seule racine dite double La factorisation de ax 2bxc est : a  x− x 02 . Le signe de ax 2bxc est celui de a sauf pour x = x0 = – b . 2a x 0 où ax 2bxc = 0. Si Δ > 0, l'équation admet deux racines réelles distincts : On peut factoriser : ax 2bxc = a  x− x 1 x−

l’expression B= (2x + 1) ² – 16 2 points a) Factoriser B. b) Développer et réduire B. c) Calculer la valeur de B lorsque xest égal 0. EX2 : E = 49x² + 42x + 9 + (7x + 3)(x + 2) 2 points a) Factoriser 49x² + 42x + 9. b) En déduire un e factorisation de E. c) Développer et réduire E d) Calculer E pour x = 0 et x = - 17 EX3 : 2 points a) Pourquoi la fraction 3588/966 n’est elle pas irréductible ? b) Simplifier la fract ion 3588/966 pour la rendre irréductible ? EX4 : Marc

maximum de A. II.6.3. Les fonctions matricielles Certaines fonctions de MatLab sont propres aux matrices. Ainsi : eig (vecteur propre, valeur propre), chol (décomposition de Cholesky), svd (décomposition en valeurs singulières), lu (factorisation LU), qr (factorisation QR), det (déterminant), rank (rang) etc... Toutes ces fonctions peuvent renvoyer un ou plusieurs arguments : [X, V] = eig[A] renvoie une matrice X dont les colonnes sont les vecteurs propres de A et une matrice diagonale V constituée