Extremum

courbe 2 sous forme d’un pic. 3.3.2.(0,5) La méthode des tangentes ( http://labolycee.org/anims/methode-tangente.swf ) permet de trouver un volume équivalent VE = 9,7 mL. La dérivée passe par un extrémum (ici un maximum) à l’équivalence, la courbe 2 permet de confirmer le résultat.3.4.(0,5) L’anion hydroxyde appartient au couple acide/base : H2O / HO–. 3.5.(0,5) L’équation de la réaction support du titrage est :

: est décroissante sur l'intervalle [-1 ; 2] (voire sur ]- ; 2]). 3. Tableau de variation Le sens de variation d'une fonction est résumé par un tableau. Exemple : Le tableau de variation de la fonction définie par : est : 4. Extrémum Définition :Soit une fonction définie sur et un réel . est le maximum M de la fonction sur si pour tout de , on a : . est le minimum m de la fonction sur si pour tout de , on a : . Exemple : la fonction définie par : f a pour

CF+CV CM=CT/q CVM= CV/q CFM=CF/q ??? Cm = ?? = ??? ?? Les coûts  fixes  sont  à  l’origine  des  économies  d’échelle  (indivisibilité  des  facteurs  de  production). Maximisation du profit q*=profit maximum par vente On  retrouve  q*  comme  extremum,  c’est  l’endroit où les  dérivées  de  R  et  C  s’annulent : RT’(q)  – CT’(q)  =  0 Rm –Cm = 0 En CPP, la firme produit q* Si P=Cm q*=P-CM CM = CVM (coûts variables moyens) + CF (coûts fixes) A CT, tant que CVM > P > CM,   l’entreprise   doit

irrationnelleÉtude de fonctions irrationnelles - Exercice i2-03 Étudier la fonction f(x) = √ −4x3 −x + 2 en traitant les points suivants : a) domaine de définition; b) zéro(s) et signe de f ; c) limites et asymptotes (verticales et affines); d) extremums et tableau de variations (sans faire usage de la dérivée seconde); e) graphique. Liste d’exercices corrigés: études de fonctions irrationnelles Corrigé a) Ensemble de définition f(x) est défini ⇐⇒ −4x3 −x + 2 ≥ 0 xxx −∞−∞−∞ 000 222 ∞∞∞ Sign(-4

TERMINAUX Analyser une fonction algébrique ou transcendante et tracer son graphique. ÉLÉMENTS DE COMPÉTENCE 1 2 3 4 Résoudre des problèmes concrets 1 en sciences. 2 3 4 5 BALISES DE CONTENU Croissance, décroissance Extremum relatif, absolu Extremum sur un intervalle Croissance, décroissance et signe de la dérivée première Point critique Test de la dérivée première Concavité Concavité et signe de la dérivée seconde Point d’inflexion Point critique de f’ ou nombre de transition

il va donc chercher à minimiser sa fonction de coût, il se pose la question de savoir combien il peut mettre de côté, combien il peut conserver de manière à minimiser ses coûts d’opportunité et de transaction. Une fonction mathématique atteint un extrémum cad un minimum ou maximum lorsque sa dérivée première est égale à 0. Pour savoir s’il s’agit d’un min ou max il faut dérivée une nouvelle fois la dérivée = dérivée seconde. Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum et si négative

personnage hors du communs. L'une de ses premières utilités serait de nous faire rêver, de nous imaginer dans le même cadre spacio-temporel que lui, à ses côtés, ou même à sa place. Il peut être doté de plusieurs qualités humaines poussées à leur extremum, tel que la princesse de Clèves, qui associe beauté exceptionnelle et valeurs morales. Ces personnages peuvent aussi se démarquer par leurs actes, comme Phileas Fogg, ayant fait le tour du monde en quatre vingt jours en surmontant de multiples obstacles

son signe (c'est-à-dire : on cherche tous les abscisses x pour lesquels la dérivée est positive). Ceci permet, sans avoir tracé la courbe, de pouvoir dresser le tableau de variations. Puis on complète le tableau avec les valeurs des éventuels extremums et enfin, on trace la courbe. AUTRE EXEMPLE On considère la fonction g : * ®  1 x a +x x * 1. Calculer g'(x) pour x Î  . 2. Étudier le signe de la dérivée g'. 3. Dresser le tableau de variations de la fonction g. 4. Tracer la représentation

est un naturel. Donc la suite un est croissante. Remarque : Une suite n’est pas forcément croissante ou décroissante. Parfois, elle peuvent être ni croissante, ni décroissante. Un exemple type est la suite un = (−1)n . 0 2 - Extremum Qui dit variations, dit extremum. Définitions : Soit un une suite numérique. – La suite (un ) est majorée si : ∃M ∈ R/∀n ∈ N, un M est appelé le majorant. – La suite (un ) est minorée si : ∃m ∈ R/∀n ∈ N, un m est appelé le minorant. – Une suite qui est à la fois

(d’apr`s Q5). e (e, e) est l’unique point critique de f . 8 8. U est un ouvert de R2 et f est de classe C 1 sur U donc si f admet un extremum local en un point de R2 , ce point est un point critique de f donc n´cessairement ce point est (e, e). e Montrons que f n’admet pas d’extremum local en (e, e). Cela montrera alors que f , n’admet aucun extremum sur U . Posons C = (e, e). f (C) = ee−1 − ee−1 = 0. ∀t ∈ R∗ , f (e, e + t) = ee+t − (e + t)e = −((e + t)e − ee+t ) = −f (e + t, e). + Ainsi